Скориставшись цим, доведемо

Теорему Ньютона- Лейбніца. Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [a,b] і Ф(x)- деяка первісна цієї функції на [a,b]. Тоді

.

Доведення: За попередньою теоремою функція F(x)= є первісною для функції f(x) . Так як Ф(х) – первісна за умовою, то за властивістю первісних

Ф(x)= +С.

Знайдемо Ф(b)= +C, Ф(a)= +C.

З останньої рівності Ф(а)=0+С , тому Ф(а)=С. Отже,

Ф(b)= +C= +Ф(а)

І

=Ф(b)-Ф(a) .

Формула Ньютона- Лейбніца дає нам зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралом функції.

4. Аналогічно до методів інтегрування невизначених інтегралів виділяємо три основні методи інтегрування визначених інтегралів.

Інтегрування частинами

Якщо функції u(x), v(x) та їх похідні неперервні в проміжку (a,b), то формула інтегрування частинами для визначеного інтегралу набуде вигляду

.

Інтегрування методом заміни змінної

При обчислені означеного інтеграла методом заміни змінної означений інтеграл заміниться за допомогою підстановки u=(t) на означений інтеграл від змінної u. При цьому старі межі інтегрування слід замінити новими , , які знаходяться з вихідної підстановки: а саме, =(a), =(b).

Таким чином

.

Метод інтегрування розкладу

Переноситься на визначений інтеграл автоматично за рахунок використання властивостей визначеного інтегралу.

Контрольні запитання

1. Яка задача приводить до поняття визначеного інтегралу. Сформулюйте і опишіть шлях розв’язку.

2. Що таке Т-розбиття?

3. Що називається визначеним інтегралом?

4. Сформулюйте і доведіть властивості визначеного інтегралу.

5. Які класи функцій є інтегровними?

6. Сформулюйте і доведіть теорему про середнє.

7. Сформулюйте і доведіть теорему Ньютона- Лейбніца.

8. Які методи обчислення визначеного інтегралу ви знаєте?

Тема 6.2. Наближенні методи обчислення означених інтегралів. Невласні інтеграли

Мета. Розглянути наближенні методи обчислення означених інтегралів, що не виражаються в скінченному вигляді, навчитись оцінювати похибку таких обчислень. Дати поняття невласного інтегралу, розглянути деякі методи оцінювання їх збіжності.

План.

1. Метод прямокутників.

2. Метод трапецій.

3. Метод Сімпсона (параболічний).

4. Невласні інтеграли першого роду та їх дослідження.

5. Невласні інтеграли другого роду та їх дослідження.

1. Не для кожної непервної функції її первісна виражається через елементарні функції. Крім того, на практиці зустрічаємось з необхідністю обчислювати інтеграли від функцій, що задані табличним чи графічними способами, а також інтеграли від функцій, первісні яких виражається через елементарні функції досить складно, що потребує великої обчислювальної роботи і з практичної точки зору не раціонально. В цих випадках обчислення означеного інтеграла по формулі Ньютона - Лейбніца або неможливt, або затрудненt, тому застосовують різні методи приближеного інтегрування.

Нехай на відрізку [a,b], a<b задана неперевна функція f(x); треба обчислити dx. Для наочності будемо рахувати, що f(x)0 на відрізку [a,b]. Розіб’ємо відрізок [a,b] на n рівних частин точками x_i, i=0, 1, 2, … ,n-1, n,

a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b.

Довжина h кожного з отриманих відрізків [x_i-1,x_i] дорівнює (b-a)/n, тобто h=(b-a)/n.

Позначимо через y_i значення функції f(x) в точках x_i

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), …. , y_n-1=f(x_n-1), y_n=f(x_n).

В залежності від того, як апроксимують дану функцію f(x) на кожному з відрізків[x_i-,x_i] дістаємо різні формули для наближеного обчислення інтеграла dx.

П ри обчисленні інтеграла dx за формулами прямокутників підінтегральна функція заміняється “ступінчатою функцією”, яка на кожному із відрізків [x_i-,x_i] має стале значення, що дорівнює значенню функції f(x) на одному із кінців цього відрізка (див. мал.1).

Нeхай, наприклад, на кожному із відрізків[x_i-,x_i] ступінчата функція приймає значення, що дорівнює значенню функції f(x) на лівому кінці цього відрізка, тобто дорівнює y_i-1. Тоді площа криволінійної трапеції aABb (а відповідно, і значення шуканого інтеграла) приблизно дорівнює сумі площ прямокутників з висотами y_i-1 і основами h=(b-a)/n.

dx

Тобто

dx . (1)

Якщо ж значення ступінчатої функції на кожному із відрізків [x_i-,x_i] співпадають із значеннями функції f(x) на правих кінцях цих відрізків, то дістанемо формулу

dx . (2)

Формули (1) і (2) називаються формулами прямокутників.

2. При обчисленні інтеграла dx за допомогою формули трапецій підінтегральна функція f(x) замінюється функцією, графік якої являє собою ламану лінію, ланки якої з’єднують кінці ординат у_і-1 та у_і (і=1,2,…,n) (Мал. 2).

В цьому випадку площа криволінійнолї трапеції aABb

(а значить, і значення шуканого інтеграла)

приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з

основами y_i-1 та y_i і висотою h=(b-a)/n.

dx .

Значить

dx . (3)

Формула (3) називається формулою трапецій.

Очевидно, що із збільшенням числа n точок поділу відрізка [a, b] збільшується точність значення шуканого інтеграла, обчисленого по будь-якій із формул (1) - (3).

Але при одному і тому ж значенні n формула трапецій, як правило, дає краще наближення, ніж формули прямокутників (1) і (2).

Можна показати, що абсолютна похибка наближення, отримана за формулою прямокутників, не більша ніж

,

а за формулою трапеції - не більша ніж

,

де M₁ та M₂ - найбільші значення відповідних функцій на відрізку [a, b].

Приклад. Обчислити наближено за формулою трапецій при n=5 і точно - за формулою Ньютона-Лейбніца.

Порівняти одержані результати, знайшовши абсолютну та відносну похибки.

Розв’язування.

Складаємо таблицю значень підінтегральної функції

i		yi
0	0	1
1	0,2	0,9615
2	0,4	0,8621
3	0,6	0,7353
4	0,8	0,6098
5	1	0,5

За формулою трапецій (3) дістанемо

.

За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо точне значення

.

Тепер знаходимо абсолютну похибку наближення

.

і відносну похибку %.

3. Якщо у визначеному інтегралі dx замість функції f(x) взяти квадратний тричлен , графік якого проходить через три точки , то дістанемо наближену рівність

.(4)

Оскільки графік квадратного тричлена проходить через точки A, B, C, то коефіцієнти

цього тричлена задовольняють рівняння:

Використовуючи ці рівняння, вираз, що стоїть у правій частині формули (4) можна

замінити рівним йому виразом .