7. Рауназн-ыя с-мы лін-х р-няў. Раш-е с-мы лін-ых р-няў м-дам пасляд-га выключення нев-ых. Крытэрыі сумеснасці с-мы лін-ых р-няў.

(1)

– поле.

– м-ца сістэмы, – пашыр-я м-ца с-мы.

Азн. Рашэннем с-мы наз. с-ма лікаў калі пры падстаноўцы ўсе роўнасці выконваюцца.

Азн. Калі с-ма мае рашэнні, то яна наз. сумяшча-ай, калі не, то несум-ай.

Азн. Сумяшчальная с-ма наз. азначанай, калі мае толькі 1 рашэнне, калі больш, то неазначанай.

Азн. 2 с-мы наз. эквівалентнымі, калі мн-вы іх рашэнняў супадаюць (мн-вы м. б. і пустыя).

Элем. пераўтварэнні с-мы: 1) змена месцамі раўнанняў с-мы, 2) множанне 2-х частак раўнання на лік , 3) дабаўленне да аднаго раўнання с-мы 2-га раўнання, памножанага на лік.

Тэар. Пры элем-х пераўтвар-нях с-мы будзем атрымліваць эквів-ую ей с-му.

□ Памножым раўнанне (*) на : (**).

Калі задавальняюць (*), то задавальняюць і (**). Калі (1) несумяшчальная, то і атрыманая с-ма несумяшчальная. ■

Рашэнне сістэмы лінейных раўнанняў метадам паслядоўнага вылучэння невядомых (м-д Гауса).

1) Выпісаць пашыр-ю м-цу. 2) З дап. элем-х пераўтварэнняў радкоў прывесці яе да паступковага выгляду. 3) Вызначыць ранг м-цы А і ранг паш-й м-цы. а) калі яны няроўныя, то с-ма несумяшчальная (няма раш.), б) калі роўныя, то с-ма сумяшчальная. 4) Знайсці базісны мінор м-цы с-мы; невядомыя, якім адпавядаюць слупкі базіснага мінора будуць базіснымі невядомымі, астатнія – свабоднымі.

(1) , то ўсе невядомыя – базісныя і с-ма мае адзінае рашэнне (м. знайсці з дап. ф-л Крамера: ). (2) , то с-ма мае бясконца многа раш-ў. Для іх знаходжання с-му запісваем т. ч., каб у левай часцы кожнага раў-ня засталіся т. базісныя невядомыя. Далей базісныя нев-ыя м. выявіць праз свабодныя, напр., з дап. ф-л Крамера, т. ч. атр-ецца агульнае раш-е зыходнай с-мы. Частковае раш-е м. атрымаць, калі надаць свабодным невядомым канкрэтныя лікавыя значэнні.

Тэар. Кронекера-Капэлі (крытэрый сумеснасці с-мы лін. раўнанняў): сістэма лін-х раўнанняў мае рашэнні т. і т. т., калі рангі матрыцы каэфіцыентаў і пашыранай матрыцы с-мы роўныя. □ Будзем разглядаць с-му АХ=В, (1) дзе А=( )- матрыца каэфіцыентаў, В- слупок свабодных складнікаў, Х= - слупок невядомых. пашыраная матрыца с-мы атрымоўваецца дапісваннем да А справа слупка В. Відавочна, што с-му (1) можам перапісаць у выглядзе (2), дзе -слупкі матрыцы А. Калі с-ма мае рашэнне ( ), тады (3). Няхай ранг матрыцы А роўны r і, скажам, першыя r слупкоў матрыцы А утвараюць МЛНП. Тады ўсе слупкі матрыцы А выяўляюцца праз першыя r (па ул: с-ма вектароў выяўляецца праз сваю МЛНП). З (3) і ул (калі с-ма (4) лін. выяўляецца праз (5), а (5) лін. выяўляецца праз (6) , тады (4) лін. выяўл. праз (6)) вынікае, што ўсе слупкі матрыцы выяўл. праз першыя r, з гэтага вынікае, што гэтыя r слупкоў будуць МЛНП матрыцы і рангі матрыц А і роўныя. Калі rang(A)=rang( ), тады ў А існуюць r слупкоў (без страты агульнасці можам лічыць, што гэта першыя r слупкоў), якія ўтвараюць МЛНП у А. З роўнасці рангаў вынікае, што гэтыя ж слупкі ўтвараюць МЛНП у . Існуюць такія , што . З гэтага відавочна, што с-ма (1) мае рашэнне Х = ■

Азн. Максімальнай лінейна незалежнай падсістэмай МЛНП наз. падсістэма сістэмы , калі яна не ўтрымліваецца ні ў якой лінейна незалежнай падс-ме, г. зн., што 1) - лін. незалежная (умова незалежнасці); 2) -лін. залежная с-ма (умова паўнаты)

Азн. Ранг матрыцы – гэта колькасць слупкоў у МЛНП с-мы слупкоў

Азн. А= , k min{m,n}. Выдзелім у А k радкоў і k слупкоў. Эл-ты матрыцы А, якія стаяць на пенасячэнні гэтых k радкоў і k слупкоў, утвараюць матрыцу вымернасці , дэтэрмінант якой наз. мінорам k-га парадку матрыцы А.

8. Із-зм вект-ых пр-раў. Бaзіс і вым-сць канечн-ай ве-ай пр-ры. Падпр-ры.

Азн. няхай Р- поле. Непустое мн-ва V наз. лінейнай прасторай (або вектарнай прасторай) над Р (элементы V будзем называць вектарамі, элементы Р-скалярамі), калі: 0) На V зададзена бінарная алгебраічная аперацыя, якая наз. складаннем ці сумай, г.зн., што азначпны вектар ), якая задавальняе ўмовам: 1) = ; 2) , што ; 3) такі, што ; 4) ; Зададзена аперацыя здабытку скаляраў (эл-таў з Р) на вектары (эл-ты з V) (г.зн., што , азначаны вектар ); 5) ; 6) ; 7) ; 8)

Азн. Нях. V, U - лінейныя прасторы над полем P. Адлюстраванне наз. лінейным (гамамарфізмам лін. прасторы), калі 1) ; 2)

Азн. V, U - лінейныя прасторы над P. -гамамарфізм. Калі f-біекцыя, тады f наз. ізамарфізмам.

Пр. 1) Разгл. . n – фіксаваны нат-ы лік. Ступень не прыузыходзіць n, т. як м. б. =0. Гэта лін. прастора над полем сапр. лікаў. – лін. пр-ра над . Вызначым адлюстраванне – гэта ізамарфізм. 2) - тоеснае адлюстраванне.

Ул: Калі - ізамарфізм лін. прастораў, тады -таксама ізамарфізм лін. прастораў. □ Паколькі f- біекцыя, тады - існуе і з’яўляецца біекцыяй. Трэба д-ць, што - лін. адлюстраванне. існуюць адзіныя такія, што і . Заўважым, што і . Тады ■

Тэар. Пры гамамарфізме лін. залежная с-ма адлюстроўваецца ў лін. зал. с-му, а калі мы маем ізамарфізм, то і лін. незал. с-ма адлюстроўваецца ў лін. незал.

_Азн. сістэма вектароў лін. прасторы V над P (1) наз. базісам лін. пр-ры V, калі выконваюцца ўмовы: 1) с-ма (1)– лін. незал. 2) (умова паўнаты)

Азн. Упарадкаваная n-ка з раскладу наз. каардынатамі вектара у базісе .

Азн. Лік в-раў у базісе лін. пр-ры наз. яе вымернасцю прасторы V над P . Абазн. .

Т. Нях. – базіс пр-ры над полем P, тады будзе із-змам.

Пр. 2 1) V_2. Адвольныя 2 некалінеярныя вектары утвараюць базіс, dim _R V₂=2. 2) V₃. Адвольныя 3 некампланыя вектары ўтвараюць базіс, dim _R V₃=3. 3) , стандартны базіс , , …, . Зн.,

Тэар. Прасторы канечнай вымернасці ізаморфны т.і т. т., калі яны маюць аднолькавыя вымернасці

Азн. Няхай V лін. прастора над полем P. Непустое падмн-ва наз. падпрасторай прасторы V, калі U з’яўл. лін. прасторай адносна апенацый, якія аэначаны ў V.

Крытэрый падпр-ры. V лін. прастора над полем P. Падмн-ва з’яўл. падпрасторай у V т. і т.т., калі выконваюцца 3 умовы:

1) Ø, 2) 3) .

Пр. 2 1) - мн-ва ўсіх геам-х в-раў у пр-ры, - мн-ва ўсіх геам-х в-раў у пл-сці падпр-ра пр-ры . 2) V-адвольная лін. прастора. У ёй есць дзве трвыіяльныя падпр-ры: V і { }.

Азн. Лінейна камбінацыя наз. трывіяльнай, калі ўсе яе каэфіцыенты роўныя нулю.

Азн. Калі толькі трывіяльная камбінацыя с-мы вектароў (1) роўная , тады гэта с-ма наз. лін. незалежнаю.

Ул. С-ма вект (1) з’яўл. лін. незал. т. і т.т., калі з таго, што вынікае, што

Азн. С-ма (1) наз. лін. залежнаю, калі яна не з’яўляецц лін. незалежнаю

Ул. С-ма (1) з’яўл. лін. зал. т. і т.т., калі існуюць , не ўсе роўныя нулю такія, што