Текстовые задачи на движение.

Рассмотрим следующие типы задач на движение:

– одного объекта;

– двух объектов по прямой

а) навстречу;

б) в противоположных направлениях;

в) вдогонку;

– двух объектов по окружности

– одного объекта относительно другого (по реке, по эскалатору, относительно колонны)

– трёх и более объектов.

1. Задачи на движение одного объекта решаются с использованием формулы , где S – путь, пройденный телом со скоростью v за время t.

Нужно быть внимательным при решении задач на нахождение средней скорости:

1. если речь идёт о средней скорости на равных участках пути, то её можно выразить как среднее арифметическое скоростей на этих участках;

2. если участки пути не равны, то средняя скорость находится по формуле .

Пример 1. Первую часть пути велосипедист ехал со скоростью 40 км/ч. Затем путь на 20 км больший он проехал за 1ч 15мин, а последний участок пути, по длине равный первому, он проехал со скоростью 32 км/ч. Найдите длину всего пути, если средняя скорость велосипедиста на всём участке составляла 40 км/ч.

	S	v	t
I	S1	v1=40	t1
II	S2=S1+20	v2	t2 =1,25
III	S3=S1	v3=32	t3

Воспользуемся формулой , для этого выразим t₁ и t₃ через S₁.

, , тогда , откуда S₁ = 40 км. Длина всего пути =140 км. Ответ 140 км.

При решении задач на движение объекта с отставанием (ускорением) относительно графика важно выяснить, каковы длина пути, где он двигался с отставанием (ускорением) и время опоздания.

Пример 2. Поезд идёт по расписанию из пункта А в пункт В 15 часов. Проехав некоторую часть пути, он снизил скорость в 5 раз и поэтому прибыл в B с опозданием на 11 часов. Если бы поезд до снижения скорости проехал на 150 км больше, то опоздание составило бы 1 час. Найдите расстояние между городами.

Пусть x км/ч – скорость по расписанию. Заметим, что на отрезке пути в 150 км время движения с отставанием составляет 10 часов, поэтому . Отсюда x = 60, S = 6015=900 (км).

Задачи на движение двух объектов по прямой

При движении 2-х объектов с разными скоростями на одно и то же расстояние отношение их скоростей обратно пропорционально отношению времени, затраченного каждым. При движении объектов в течение одного и того же времени отношение длин путей прямо пропорционально отношению скоростей.

а )навстречу

б )в противоположных направлениях

в) вдогонку , где v₁ – скорость объекта, который движется быстрее.

Пример 3. Из города со скоростью 48 км/ч выехал мотоцикл. Через 25 мин в том же направлении со скоростью 78 км/ч выехал автомобиль. На каком расстоянии от города автомобиль догонит мотоцикл?

Пусть км/ч, км/ч, ч, тогда , где .

1. (км).

2. = (ч).

3. = =52 (км)

О твет: 52 км.

Задачи на движение двух объектов по окружности

Придвижении точек по окружности , где l – длина окружности.

Пример 4. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 56 мин, в разных направлениях – каждые 8 мин. Известно, что при движении в разных направлениях расстояние по окружности между сближающимися телами уменьшилось с 40 до 26 м за 24 с. Найдите скорость каждого тела.

. Заметим, что м/с = м/мин, тогда = (м), следовательно, , отсюда . v₁=20 м/с, v₂=15 м/с.

Задачи на движение одного объекта относительно другого

а) по реке

, , скорость плота равна скорости течения.

Пример 5. Пароход плывёт от Киева до Херсона трое суток, а назад – четверо. Найти, сколько суток будет плыть плот от Киева до Херсона.

, отсюда , следовательно, плот от Киева до Херсона будет плыть 24 суток.

П ример 6. Из пункта А одновременно отплыли по течению реки катер и плот. Пройдя км, катер повернул обратно и, пройдя км, встретился с плотом. Найти собственную скорость катера, если скорость течения 4 км/ч.

Заметим, что плот прошёл путь – = 4(км) со скоростью 4 км/ч, значит, он находился в пути 1 час. Катер тоже находился в пути 1 ч. Найдём собственную скорость катера.

1 способ. Можно составить уравнение , из которого найти км/ч.

2 способ. Можно заметить, что относительно плота катер плыл с постоянной скоростью 1 час на одинаковое расстояние и проплыл + = км, где x км – длина пути, пройденного плотом за 0,5 часа, значит, скорость катера км/ч.

Пример 7. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

1 способ. Скорость удаления лодки и шляпы равна ; скорость сближения лодки и шляпы равна . Удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит, время движения туда и обратно одинаково. Ответ 15 мин.

2 способ. Относительно шляпы лодка плыла с одинаковой скоростью на одинаковое расстояние, значит, и времени было затрачено одинаково.

б) по эскалатору

Пример 8. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору и насчитал 150 ступенек. Найти количество ступенек, которое насчитал бы мальчик, спустившись по неподвижному эскалатору.

1 способ. Пусть l – длина эскалатора, – собственная скорость мальчика, – скорость эскалатора, искомое количество ступенек. Составим систему:

, отсюда , значит, количество ступенек равно 50.

2 способ. Пусть x – количество ступенек, которые исчезают (появляются), пока мальчик делает 1 шаг. Тогда количество ступенек эскалатора можно выразить двумя способами: при движении мальчика вниз по движущемуся эскалатору: 30+30x (те, что он насчитал и те, что спрятались, пока он шагал) и 150–150x (те, что он насчитал минус лишние, которые появились, пока он шагал).

30+30x = 150–150x, отсюда находим , тогда количество ступенек равно 30+30x= 30+30 =50.

в) относительно колонны.

Пример 9. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из конца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Найти путь, который проехал связной.

Пусть км/ч – скорость связного, км/ч – скорость колонны, тогда время t₁, затраченное связным на путь в начало колонны равно ; время t₂, затраченное связным на путь в начало колонны равно . Время, затраченное связным на весь путь, равно времени движения колонны .

Составим уравнение + = . Решая его, находим: . Отношение длин путей, пройденных связным и колонной за одно и то же время, равно отношению скоростей, т.е. , следовательно, =18 (км). Ответ 18 км.

Задачи на движение трёх и более объектов.

Пример 10

Более простое решение этой задачи можно найти, рассмотрев графическую модель движения трёх рассматриваемых объектов.

Графический способ решения задач на движение

Введём координатную плоскость, по одной из осей которой от­ложим время t, по другой — путь, пройденный телом S (или выполненную работу). Тогда любая точ­ка этой плоскости с координатами (t, S) будет соответ­ствовать, например, пути S, пройденному объектом за время t, а само движение изобразится некоторой линией в этой плоскости. Если скорость в течение некоторого времени постоянна, движение изображается прямой линией.

Рассмотрим решение предыдущей задачи (пример 10).

И звестно, что при движении 2-х объектов с разными скоростями на одно и то же расстояние отношение их скоростей обратно пропорционально отношению времени, затраченного каждым, значит, = ; = , т.е. , ; . Ответ: .

Пример 11 (Задача Льюиса Кэрролла из сборника математических головоломок для школьников) Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой – 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

Рис. 1

Обозначим через х ч неизвестный промежуток времени (Рис. 1).

Так как ∆АОР ~ ∆МОК, то .

Так как ∆ВОК ~ ∆ТОР, то .

Таким образом, , т. е. , откуда х = 12. Тогда время, затраченное на путь каждым:

12 + 16 = 28 (ч); 12 + 9 = 21 (ч).

Ответ: 28 ч, 21 ч.

Пример 14. (задача репетиционного централизованного тестирования 2005 года) Рыболов, охотник и грибник идут в одном направлении с постоянными скоростями. Когда рыболов и охотник находились в одной точке, грибник отстал от них на 220 метров. Когда грибник догнал охотника, рыболов отставал от них на 180 метров. Найдите расстояние (в метрах) между охотником и рыболовом, в тот момент, когда грибник и рыболов находились в одной точке.

Решение:

Рис. 13

Обозначим через x м – расстояние, на которое опережал охотник в момент встречи грибника и рыболова, соответствующий отрезку СЕ (Рис 13).

Так как ∆КЕТ ~ ∆РЕА, то , откуда .

Так как ∆КТА ~ ∆СЕА, то ; , откуда х = 99 м.

Ответ: 99 м.

Текстовые задачи на работу.

Являются аналогом задач на движение, решаются с использованием формулы , где A – работа, выполненная объектом, который имеет производительность p, за время t. Чаще всего работу принимают за 1.

Пример 15. Три брата хотят вместе построить дом. Сколько времени им для этого понадобится, если один брат может построить дом за 2 года, второй за 3, третий за 4?

Решение: один брат за год может выполнить часть работы, второй – , третий – , значит, работая вместе, за 1 год, они могут выполнить + + = , значит для выполнения работы им нужно затратить года = дней.

Пример 16. Баржа была разгружена с помощью двух кранов на протяжении 15ч, причём первый крановщик приступил к работе на 7 ч позже второго. Известно, что первый крановщик, работая отдельно, может разгрузить баржу на 5 ч быстрее второго. За сколько времени может разгрузить баржу каждый крановщик, работая отдельно?

Решение.

Пусть FC=x ч – неизвестный промежуток времени (рис. 8).

Рис. 8

; , откуда x = 5.

Тогда AT = 15 + 5 + 5 = 25 ч, OM = 25 – 5 = 20 ч.

Ответ: 25 ч, 20 ч.

Текстовые задачи на проценты (см бумажный вариант)