4)Физический и математический маятник.Энергия колебательной системы.Гармонический осциллятор.

Математический маятник – колеблющаяся материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. К этой модели ближе всего массивное тело (шар), размер (диаметр) которого много меньше длины нити. Если его отклонить от положения равновесия, увеличив при этом потенциальную энергию системы «шар–нить», то будут наблюдаться колебательные движения этой системы. Колебательное движение системы «шар–нить» будет наблюдаться и в том случае, если шару сообщить кинетическую энергию, т.е. заставить его двигаться.

 

Рассмотрев малые колебания математического маятника (рис. 4), при которых отклонение его от положения равновесия х можно получить выражение для периода его колебаний. ( в любой момент времени для этой системы выполняется закон сохранения механической энергии:

Выразив высоту h через координату x по оси 0Х (рис. 4, а) и учитывая, что при малых значениях х угол между нитью и вертикалью тоже мал, используем что для такого угла отклонения соотношение sin a » a » tg a.

Рис. 4

Следовательно,

 

Из закона сохранения энергии получим

 

Поэтому можно утверждать (см. Уравнение гармонических колебаний), что малые колебания математического маятника происходят по гармоническому закону x = A sin (wt + j₀), где

,

т.е. с периодом

Амплитуду и начальную фазу колебаний находят из начальных условий –начальной скорости и начальной координаты тела. Если, например, тело в моментвремени t находилось в начале координат и имело скорость ₀, то из уравнений = 0

x(0) = A sin j₀ = 0

(0) = Aw cos j₀ = ₀

находим

j₀ = 0, A = ₀/w.

ОСЦИЛЛЯТОР ГАРМОНИЧЕСКИЙ

система с одной степенью свободы, колебания к-рой описываются уравнением вида 

Фазовые траектории - окружности, период колебаний   не зависит от амплитуды. Потенциальная энергия О. г. квадратично зависит от х:

Примеры О. г.: малые колебания маятника, колебания материальной точки, закрепленной на пружине с постоянной жесткостью, простейший электрический колебательный контур. Термины "гармонический осциллятор" и "линейный осциллятор" часто употребляются как синонимы.

Колебания квантовомеханического линейного осциллятора описываются уравнением Шрёдингера 

Здесь т - масса частицы. Е - ее энергия, h - постоянная Планка, w - частота. Квантовомеханический линейный осциллятор имеет дискретный спектр уровнен энергии   соответствующие собственные функции выражаются через Эрмита функции.

Термин "осциллятор" употребляется но отношению к системам (механическим или физическим) с конечным числом степеней свободы, движение к-рых носит колебательныйхарактер (напр., многомерный линейный осциллятор - колебания материальной точки, находящейся в потенциальном поле сил с потенциалом, к-рый является положительно определенной квадратичной формой от координат, нелинейный осциллятор Ван дер Поля, см.Ван, дер Поля уравнение). По-видимому, не существует однозначного толкования термина "осциллятор" или даже "линейный осциллятор".

Физический маятник.

Ф изическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной. При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

 . Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

(7.10)

(7.11)

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е.   или

. Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.