Сущность математического метода

1 Характеристика метода перевозки неоднородного груза

Иногда встречаются задачи перевозки неоднородного груза к таким, например, относится планирование перевозок угля разных сортов, цемента разных марок, сортового железа и т.д. Характерной чертой всех этих задач является условие взаимозаменяемости различных сортов перевозимого груза при удовлетворении потребностей. Это означает, иными словами, что некоторая часть потребностей может быть удовлетворена различными видами имеющегося в наличии груза и характера потребностей. Мы рассмотрим, каким образом подобные задачи могут быть приведены к задачам о перевозках некоторого условного однородного груза.

Пусть, например, имеются два поставщика – А₁и А₂ и два потребителя В₁и В₂.

У каждого поставщика имеется груз двух сортов (например, бурый уголь и антрацит, цемент марок 500 и 600 и т.д.). Обозначим ресурсы 1-го поставщика по каждому из сортов груза через а¹₁ и a¹¹₁ и аналогично, 2-го поставщика – через а¹₂ и a¹¹₂.

В дальнейшее мы будем рассматривать не два, а как бы четыре поставщика, ресурсы которого соответственно равны а¹₁, а¹¹₁, а¹₂ и а¹¹₂. Теперь перейдем к анализу потребностей каждого потребителя. Очевидно, в условиях данной задачи эти потребности у каждого потребителя могут быть трех видов.

1. Потребности только на первый сорт груза. Обозначим их соответственно для 1-го потребителя через b¹₁и для второго через b¹₂.

2. Потребности только на второй сорт груза (соответственно b¹¹₁и b¹¹₂).

3. Взаимозаменяемые потребности на любой из сортов груза (соответственно b¹¹¹₁и b¹¹¹₂).

Будем полагать, что b¹¹¹₁и b¹¹¹₂означают потребности 1-го и 2-го потребителя, выраженные в единицах первого сорта груза.

Вместо каждого из двух потребителей В₁ и В₂ будем в дальнейшем рассматривать три потребителя с потребностями b¹, b¹¹ и b¹¹¹.

Занесем все перечисленные исходные данные и, кроме того, коэффициенты затрат C_ik на перевозку единицы груза в таблицу №1.

Оформление таблицы в методичке

Таблица 1

b11 a11	B1			B2
	b11	b111	b1111	b12	b112	b1112
a11	c11	c11	c11	c12	c12	c12
a111	c11	c11	c11	c12	c12	c12
a12	c21	cc1	c21	c22	c22	c22
a112	c21	c21	c21	c22	c22	c22

Будем полагать, что коэффициенты затрат от сорта перевозимого груза, а определяются только тем, «откуда» и «куда» он перевозится_.

Пусть p - единицы груза первого сорта могут быть замены при удовлетворении 3-й категории потребностей q – единиц второго сорта. Тогда отношение назовем коэффициентом взаимозаменяемости. Он показывает, сколько единиц груза второго сора могут заменить единицу груза первого сорта.

Приведем все данные таблицы к одному условному грузу, например грузу второго сорта, с помощью коэффициента взаимозаменяемости.

Так ресурсы а¹₁ и а¹₂ единиц первого сорта эквивалентны соответственно αа¹₁ и αа¹₂ единиц второго сорта. Аналогично, потребность b¹₁, b¹₂, b¹¹¹₁ и b¹¹¹₂ эквивалентны соответственно αb¹₁ , αb¹₂ , αb¹¹¹₂, αb¹¹¹₁. Однако затраты связаны с перевозками реального груза и зависят от его реального веса, а не от потребительских свойств.

Поэтому, увеличив искусственные ресурсы первого сорта в α раз, необходимо соответственно в этих строках уменьшить в α раз коэффициенты затрат. Наконец, следует предусмотреть, чтобы потребности 1-й и 2-й категории удовлетворялись только определенным допустимым сортом груза. Для этого производится блокировка недопустимых перевозок с помощью искусственно завышенных коэффициентов затрат М.

В результате внесения всех указанных изменений получим распределенную таблицу №2, в которой фигурирует однородный условный груз.

Оформление таблицы в методичке

Таблица 2

bk ai	B1			B2
	b11	b111	b1111	b12	b112	b1112
αa11	c11	M	c11	c12	M	c12
a111	M	c11	c11	M	c12	c12
αa12	c21	M	c21	c22	M	c22
a112	M	c21	c21	M	c22	c22

Условие для закрытой модели будет в данном случае выглядеть так:

а¹¹₁ + а¹¹₂ +α(а¹₁ + а¹₂) = b¹¹₁ + b¹¹₂ +α(b¹₁ + b¹₂) + α(b¹¹¹₁ + b¹¹¹₂).

Однако этого условия не достаточно. Очевидно, запасы ресурсов груза первого и второго сорта должны быть не меньше потребностей в этих сортах

a¹₁ + a¹₂ ≥ b¹₁ + b¹₂

a¹¹₁ + a¹¹₁≥ b¹¹₁+ b¹¹₂

Дальнейшее решение задач можно производить обычно распределительным методом, рассматривая условно четырех поставщиков груза и шесть потребителей.

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы. Например, способ “северо-западного угла”, способ минимальной стоимости по строке, способ минимальной стоимости по столбцу и способ минимальной стоимости таблицы.

Простейшим способом является метод «северо-западного угла», в этом случае заполняют таблицу перевозками постепенно, начиная с левой верхней ячейки (“северо-западного угла“ таблицы).

Но такой способ не является оптимальным по стоимости, так как при его построении совсем не учитывается стоимость перевозок С_i,j .

Другой способ — способ минимальной стоимости по строке — основан на том, что распределяется продукция от пункта A_i не в любой из пунктов B_j, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов B_j. Во всем остальном этот метод схож с методом “северо-западного угла”. При этом методе может получиться, что стоимости перевозок C_i,j и C_i,k от пункта A_i к пунктам B_j и B_k равны. В этом случае, с экономической точки зрения, выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше.

Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов B_i к пунктам A_j по минимальной стоимости C_j,i. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению.

Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю.

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу “северо-западного угла” мы учитываем стоимости перевозок C_i,j, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

Следующий шаг - это улучшение план.

На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок. Циклом в транспортной задаче мы будем называть несколько занятых клеток, соединённых замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90.

Существует несколько вариантов цикла :

1 ) 2) 3)

Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит , чётное число звеньев (стрелок). Условимся отмечать знаком “+” те вершины цикла, в которых перевозки необходимо увеличить, а знаком “-“ те вершины , в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть “означенным”. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу — это значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество. Очевидно при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется: по прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запасам этой строки, а сумма перевозок в каждом столбце — заявке этого столбца. Таким образом, при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым. Стоимость же плана при этом может меняться: увеличиваться или уменьшатся. Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу. Очевидно цена цикла ровна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, причём стоящие в положительных вершинах берутся со знаком “+”, а в отрицательных со знаком “-“. Обозначим цену цикла через . При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозок увеличивается на величину . При перемещении по нему k единиц груза стоимость перевозок увеличиться на k. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Каждый раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение стоимость плана уменьшается на соответствующую величину k. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут.

Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле) заменяют одну свободную переменную на базисную, то есть заполняют одну свободную клетку и взамен того освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остаётся неизменным и равным m + n – 1