1. Основне поняття атрактора

Атрактор (англ. привертають - залучати, притягати) - компактне підмножина фазового простору динамічної системи, всі траєкторії з деякої околиці якого прагнуть до нього при часі, що прагне до нескінченності. Атрактором може бути притягає нерухома точка (наприклад, в задачі про маятнику з тертям об повітря), періодична траєкторія (приклад - самозбудні коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), або деяка обмежена область з нестійкими траєкторіями всередині (як у дивного Атрактора).Існують різні формалізації поняття прагнення, що призводить до різних визначень Атрактора, що задає, відповідно, потенційно різні безлічі (найчастіше - вкладені одне в інше). Найбільш уживаними визначеннями є максимальний Атрактор (найчастіше - в своїй малій околиці, см нижче.), Атрактор Мілнора і неблуждающее безліч.

Атрактори класифікують за:

• Формалізацією поняття прагнення: розрізняють максимальний Атрактор, неблуждающее безліч, Атрактор Мілнора, центр Біркгофа, статистичний і мінімальний Атрактор.

• Регулярності самого Атрактора: атрактори ділять на регулярні (притягає нерухома точка, що притягає періодична траєкторія, різноманіття) і дивні (нерегулярні - часто фрактальні і / або в якому-небудь перерізі влаштовані як канторова безліч; динаміка на них зазвичай хаотична).

• Локальності («притягує безліч») і глобальності (тут же - термін «мінімальний» у значенні «неподільний»).Також, є відомі «іменні» приклади атракторів: Лоренца, Пликіна, соленоїд Смейла-Вільямса, гетероклініческій Атрактор (приклад Боуена).

2. Застосування атракторів сьогодні

Застосування теорії атракторів динамічних систем в задачах математичної фізики і, зокрема, в гідродинаміці обмежено тим, що для побудови динамічної системи потрібно однозначна розв'язність завдання із заданим початковим умовою. Проте вже для тривимірної системи Нав'є-Стокса не встановлено ні існування глобального сильного рішення, ні єдиність слабкого, так що побудувати динамічну систему не вдається.В обхід зазначених труднощів виникла теорія траєкторних Атракторов, що дозволяє будувати глобальні атрактори для ряду еволюційних рівнянь. Ця теорія була запропонована російськими вченими М. І. Ві-шиком і В. В. Чепижовим і незалежно американським вченим Дж. Шеллом, а згодом була вдосконалена з метою застосування в задачах неньютоновой гідродинаміки в роботах В.Г.Звягіна і Д.А.Воротнікова, а також статті. Саме цей останній підхід до Атракторам використовується в цій роботі. Принцип, що лежить в основі цього нового підходу, полягає в розгляді замість напівгрупи еволюційних операторів деякого безлічі функцій часу, приймаючих значення в фазовому просторі. Така безліч функцій називають простором траєкторій, а окремі належні йому функції - траєкторіями. Згідно своїм змістом, кожна траєкторія являє собою якийсь сценарій розвитку системи. У самому загальному випадку на простір траєкторій накладаються тільки умови непустоту та приладдя певного класу функцій, тому використання простору траєкторій є дуже гнучким способом опису динаміки: наприклад, з деякої точки фазового простору можуть виходити кілька траєкторій.Для просторів траєкторій розглядаються глобальні і траєкторію-ні атрактори. Глобальний атрактор є узагальненням аналога Атрактора динамічної системи; він являє собою деяке безліч в фазовому просторі, яке притягує обмежені сімейства траєкторій. Траєкторний Атрактор - це певне безліч функцій часу зі значеннями у фазовому просторі, на які з плином часу «стають схожі» траєкторії. Між поняттями траекторного та глобального атрактора існує тісний зв'язок: наприклад, якщо існує мінімальний (по включенню) траєкторний Атрактор, то його перетин в довільний момент часу (тобто безліч значень в деякий момент часу всіх функцій, що складають цей Атрактор), є глобальним Атрактором.У додатках до диференціальних рівнянь в якості простору траєкторій в принципі можна вибрати будь-яке сімейство рішень, визначених на неотрицательной півосі, причому поняття рішення теж можна трактувати будь-яким зручним способом. Звичайно, щоб отримати змістовну теорію, потрібно показати, що траєкторій існує «досить багато». Типовий випадок - розгляд в якості простору траєкторій безлічі слабких рішень, що задовольняють деякій оцінці диссипативного типу.Одне з перших завдань, в якій знайшла додаток теорія траєкторії-них атракторів, - тривимірна система Нав'є-Стокса. Підхід Вішіка і Чепижова накладав на простір траєкторій обмежувальне вимога транляціонной інваріантності, тому його додаток до багатьом завданням неньютоновой гідродинаміки було ускладнено, оскільки вимагало отримання інваріантних відносно зрушень за часом оцінок рішень. Після того, як в роботах В. Г. Звягіна і Д. А. Воротнікова умова трансляційної інваріантності було знято, вдалося побудувати атрактори для різних моделей руху в'язкопружних середовищ, зокрема, для системи Джеффріса з повною похідної.