Завдання 8

На основі матриці С отримати матрицю норм прибутку цінних паперів R, обчислити сподівані норми прибутку m_i, дисперсії норм прибутку цінних паперів D_i, середньоквадратичні відхилення та сформувати матрицю Δ відхилень значень норми прибутку R_i,t від сподіваної норми прибутку m_i для усіх цінних паперів.

На основі показників сподіваної норми прибутку акцій, дисперсії норми прибутку акцій (як показника кількісної оцінки ризику) та ступеня кореляції між нормами прибутку акцій обрати оптимальний портфель цінних паперів з позицій:

• мінімального ризику;

• мінімального ризику при заданій величині норми прибутку портфеля;

• максимальної норми прибутку за обмеження на ризик портфеля.

Розв’язання завдання.

Портфель цінних паперів – це розподіл коштів у певного інвестора між різними активами (акції, облігації) в найбільш вигідній та безпечній пропорції. Такий розподіл інвестицій за різними “адресами” знижує ризик, забезпечує більшу стійкість доходів (прибутків) за будь-яких коливань дивідендів і ринкових цін на цінні папери.

Базовими положеннями у теорії цінних паперів є те, що норма прибутку (дохідність) інвестицій у цінні папери – це випадкова величина; інвестор оцінює альтернативні рішення за двома параметрами – сподівана норма прибутку як показник ефективності інвестицій та середньоквадратичне відхилення норми прибутку як показник ступеня ризику; інвестор прагне збільшення ефективності та зменшення ступеня ризику [2].

Для оцінки оптимального портфелю цінних паперів використаємо показники сподіваної норми прибутку, розрахованої у завданні 7 (табл. 8.1).

Таблиця 8.1 – Показники сподіваної норми прибутку акцій

R1	0,10	-0,15	0,10	-0,04	-0,02	-0,04	0,10	0,05	0,19	0,00
R2	0,18	-0,03	-0,07	0,03	-0,04	0,02	0,14	0,02	0,09	-0,08
R3	0,01	-0,15	0,05	0,01	-0,12	-0,09	0,13	0,08	0,12	-0,01
R4	0,02	0,05	-0,04	0,08	-0,05	-0,05	-0,07	0,00	0,18	0,29
R5	0,41	0,01	0,02	0,00	0,01	-0,01	-0,14	0,00	-0,02	-0,06
R6	0,12	-0,09	0,00	0,05	-0,16	-0,02	0,14	0,07	0,03	0,03

Відмітимо, що норма прибутку  це один із основних критеріїв, яким керуються інвестори у процесі прийняття рішення щодо інвестування в цінні папери. Згідно з гіпотезою, що норма прибутку є випадковою величиною. Ці ймовірності залежать від ситуації на ринку цінних паперів, яка залежить, у свою чергу, від багатьох чинників, зокрема, від загальної економічної ситуації.

Позначимо через x_i частку і-го цінного паперу у портфелі. Для значень x_i виконуються наступні умови:

(8.1)

Тоді, сподівана норма прибутку портфеля обчислюється за формулою:

(8.2)

де - сподівана норма прибутку відповідного цінного паперу.

Дисперсія портфеля цінних паперів обчислюється за формулою (8.3).

(8.3)

де - дисперсія і-го цінного паперу;

cov (R_i; R_j) – коваріація між i-тим та j-тим цінними паперами.

Отже, перш за все необхідно розрахувати значення коваріації між нормами прибутку акцій. Побудуємо коваріаційну матрицю, використовуючи для цього матрицю Δ – матрицю відхилень норми прибутку від сподіваної норми прибутку. Отже, коваріаційна матриця розраховується за формулою:

(8.4)

де - матриця, транспонована до матриці Δ.

Введемо позначення:

(8.5)

Отже, формула дисперсії матиме наступний вигляд:

(8.6)

Для даного завдання матриця Δ має наступний вигляд (рис. 8.1):

Рисунок 8.1 – Матриця відхилень норми прибутку від сподіваної норми прибутку

За формулою (8.4) коваріаційна матриця матиме наступний вигляд (рис.8.2):

Рисунок 8.2 – Коваріаційна матриця

Отже, перше завдання полягає в тому, щоб побудувати портфель цінних паперів з мінімальним ризиком. Для цього необхідно, щоб виконувались наступні умови:

(8.7)

Через складність аналітичних розрахунків перейдемо відразу до результатів поставленого завдання (рис. 8.3 – 8.4).

Рисунок 8.3 – Побудова портфеля цінних паперів із мінімальним ризиком

Рисунок 8.4 – Задання умов для побудови портфеля цінних паперів із мінімальним ризиком

Отже, бачимо, що оптимальний портфель цінних паперів із мінімальним ризиком складається із цінних паперів п’яти видів і не включає в себе акції ОАО «Градострой».

Портфель цінних паперів міститиме в собі 20% акцій ОАО «Киевградосервис», 24% акцій ОАО «Берест» 20% акцій ОАО «Гранд-Інвест IК» , 17% акцій ОАО «Гранит» і 16% акцій ОАО «ДБК-1»

Наступним кроком побудуємо портфель цінних паперів із заданою сподіваною нормою прибутку та мінімальним ризиком.

Для цього треба знати таку структуру портфеля, щоб виконувались наступні умови:

(8.8)

де – задане суб’єктивно значення сподіваної норми прибутку портфеля, яку бажає отримати інвестор.

Значення повинно задовольняти умову:

; . (8.9)

У даному випадку задамо значення сподіваної норми прибутку портфеля як

Перейдемо до результатів завдання (рис. 8.5 – 8.6).

У даному випадку портфель цінних паперів складається із п’ятьох видів акцій. Портфель цінних паперів міститиме в собі 40% акцій ОАО «Киевградосервис», 6% акцій ОАО «Берест» 15% акцій ОАО «Гранд-Інвест IК» , 2% акцій ОАО «Гранит» і 34% акцій ОАО «ДБК-1»

Рисунок 8.5 – Побудова портфеля цінних паперів із мінімальним ризиком та заданою сподіваною нормою прибутку

Рисунок 8.6 – Завдання умов для побудови портфеля із мінімальним ризиком та заданою сподіваною нормою прибутку

Далі побудуємо портфель цінних паперів із заданим рівнем ризику та максимальною нормою прибутку. Для цього треба знайти таку структуру портфеля, щоб виконувались наступні умови:

(8.10)

де - задане суб’єктивно значення оцінки ризику портфеля (дисперсії норми прибутку портфеля), тобто рівень ризику бажаний для інвестора.

Нехай для даної задачі .

Отже, перейдемо до результатів (рис. 8.7 – 8.8).

Рисунок 8.7 – Побудова портфеля цінних паперів із заданим рівнем ризику та максимальною нормою прибутку

Рисунок 8.8 – Задання умов для побудови портфеля

Як бачимо, у даному портфелі представлені акції 6 підприємств – ОАО «Киевградосервис» – 18% , ОАО «Берест» – 17%, ОАО «Гранд-Інвест IК» – 22%, ОАО «Градострой» – 8%, ОАО «Гранит» – 19%, ОАО «ДБК-1» – 13%.