2.3 Текст программы на MathCad с комментариями к операторам
Графики:
а) исходная зависимость
приближающая зависимость
От косинуса:
От синуса:
б) погрешности приближений: среднеквадратическая и поточечная
От косинуса:
От синуса:
Среднеквадратичная погрешность:
От косинуса
От синуса
2.5. Вывод:
Найдена линейная комбинация предложенных базисных функций
дающая приближение табличных значений (M =200 ) заданной функции y
по методу наименьших квадратов.
При таком выборе системы базисных функций и числа точек
Среднеквадратичная погрешность приближения не превышает 0,012 по косинусу, и 7,063*10^-5 по синусу.
Данный метод позволяет по результатам эксперимента получить аналитическую зависимость в виде линейной комбинации базисных функций так, чтобы она пусть и не проходила бы через все заданные точки, но в целом «хорошо приближала» (по методу наименьших квадратов) заданную таблично зависимость.
Систему базисных функций можно подобрать так, что бы функциональная зависимость была наиболее простой и удовлетворяла требуемой точности приближения.
3 Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
Постановка задачи
Найти точное решение указанной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и программой rkfixed численно решить эту же задачу на отрезке [0;2] с шагом h:=0,001.
,при
y(0)=1
Метод решения
Решение дифференциальных уравнений (ДУ) широко применяется в
практике научно-технических расчетов. Это связано с тем, что ДУ
описывают поведение различных объектов в динамике. Линейные ДУ имеют
решение в виде специальных функций. Однако многие физические системы
не линейны и описываются нелинейными ДУ, не имеющими аналитического
решения. В этом случае приходится использовать численные методы
решения ДУ.
Методом Рунге–Кутта можно строить схемы различного порядка
точности. Например, схема ломаных есть схема Рунге–Кутта первого
порядка точности. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ имеет вид:
Схемы Рунге—Кутта имеют ряд важных достоинств:
1) Все они (кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность.
2) Они являются явными, т. е. значение уn+1 вычисляется по ранее
найденным значениям за определенное число действий по
определенным формулам.
3) Все схемы допускают расчет переменным шагом; значит, нетрудно
уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его
в обратном случае.
4) Для начала расчета достаточно выбрать сетку хn и задать значение у0.
На случай систем уравнений схемы Рунге—Кутта легко переносятся,
как во всех других методах, при помощи формальной замены у, f(х, у) на производную от у, f(х, у).
Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и
ограничена вместе со своими четвертыми производными (и эти производные
не слишком велики), то хорошие результаты дает схема четвертого порядка
благодаря очень малому коэффициенту в остаточном члене и быстрому
возрастанию точности при уменьшении шага. Если же правая часть не имеет
указанных производных, то предельный порядок точности этой схемы не
может реализоваться.
Шаг сетки следует выбирать настолько малым, чтобы обеспечить
требуемую точность расчета; других ограничивающих шаг условий в методе
Рунге—Кутта нет.
Реализация схемы Рунге–Кутта в MathCAD
rkfixed(y, a, b, n, D) — возвращает матрицу решений методом Рунге–
Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными
условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном
векторе D, на интервале от a до b при фиксированном шаге, n – число шагов.
3.3 Текст программы на MatchCAD с комментариями к операторам
