1.6. Электрический импеданс

Электри́ческий импеда́нс (комплексное сопротивление, полное сопротивление) — комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала. Это понятие ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году.

В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение напряжения к току на нём, попытка применения термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности.

Сопротивление правильно описывает свойства катушки и конденсатора только на постоянном токе. В случае же переменного тока свойства реактивных элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. Такое поведение сопротивлением уже не описывается, поскольку сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов тока и напряжения.

Было бы удобно иметь некоторую характеристику и для реактивных элементов, которая бы при любых условиях связывала ток и напряжение на них подобно сопротивлению. Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при гармонических воздействиях на них. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некоей стабильной константой (подобной в некотором смысле сопротивлению), которая и получила название электрический импеданс (или просто импеданс). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно оно позволяет одновременно учитывать и амплитудные, и фазовые характеристики сигналов и систем.

Импедансом называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени: если время t в выражении для импеданса не сокращается, значит для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

(9)

Здесь

j — мнимая единица;

ω — циклическая частота;

U(ω), I(ω) — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;

ϕu(ω), ϕi(ω) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;

, — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω. [2]

2. Вычисление частотных характеристик

Рассчитаем функцию передачи по напряжению, основываясь на законах Кирхгофа. Начертим эквивалентную схему:

Рис.2. Преобразованная схема

Для определения функции передачи Н(jω) необходимо найти отношение выходного напряжения к входному:

Н(jω) (1)

Для данной цепи:

U₁=I₁*Z_общ (2)

U₄=I₃*Z_R2 (3)

Z_R2=R₂ (4)

Z_R1=R₁ (5)

Z_L1=jωL₁ (6)

Z_L2=jωL₂ (7)

Подставив (2), (3) в (1)получаем:

(8)

Исходя из закона Ома, найдём Z_общ :

(9)

отсюда

,

тогда

. (10)

Так как , то

(11)

Подставим в него (11), получим:

(12)

Подставим формулы (10) и (12) в выражение (8) и упростим, получим функцию передачи электрической цепи по напряжению:

В полученную функцию подставим формулы (4), (5), (6), (7) и упростим, получим:

Подставим в полученную функцию конкретные значения для , получим:

Из функции передачи , можно получить выражение для амплитудно-частотной характеристики:

= ,

= =| ,

= = ,

= .

Для получения фазочастотной характеристики перейдем к экспоненциальной форме записи функции передачи. По определению ФЧХ представляет собой частотную зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.

j = ,

=

= * ,

arg[H(jω)]= – .

Оценим частоту максимума АЧХ F_max по минимуму знаменателя:

=

Знаменатель будет минимален, когда Минимум знаменателя амплитудно-частотной характеристики будет при условии, что , таким образом, получаем:

= - резонансная частота

= (рад/с)

F_рез = (Гц).

Оценим максимум АЧХ при частоте :