1.2.Предел и непрерывность функции многих переменных

Пусть дана функция , определенная на множестве .

Определение. Число называется пределом функции при стремлении точки к точке по множеству , если для любого числа существует такое число , что для всех точек , таких что выполняется неравенство: .

Обозначают:

В силу данного определения основные теоремы о пределах, справедливые для функции одной действительной переменной, справедливы и для функции переменных.

Пример.

Вычислить предел .

Имеем

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции при равный значению функции в точке :

.

Замечание. Из непрерывности функции по совокупности аргументов вытекает ее непрерывность и по каждому из аргументов в отдельности, но обратное неверно.

Если функция непрерывна в каждой точке области, то она называется непрерывной в этой области. Точки области определения, в которых функция теряет непрерывность, называются точками разрыва функции. В силу данных определений основные теоремы о непрерывных функциях, справедливые для функции одной переменной, справедливы и для функций n переменных.

1.3.Частные производные функции многих переменных

1.3.1.Определение частной производной и её геометрический смысл

Пусть дана функция . Зафиксируем все переменные, кроме одной , а переменной дадим приращение , тогда получим частное приращение функции по переменной :

- .

Определение. Частной производной функции по переменной называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной к приращению этой переменной , при →

= = .

Частную производную обозначают и другими символами: .

Вычислять частную производную функции многих переменных по одному аргументу следует по обычным правилам и формулам дифференцирования, в предположении, что все остальные аргументы - постоянные величины.

Пример.

Найти частные производные функции по аргументам и .

Считая постоянной, находим: ;

считая постоянной, находим: .

Частная производная функции двух переменных , вычисленная по переменной в фиксированной выражает скорость изменения данной функции в направлении оси Ox или скорость изменения функции одной переменной .

Частные производные функции в точке имеют следующий геометрический смысл: и , где α- угол между осью Ox и касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости , β – угол между осью Oy и касательной в той же точке к линии пересечения поверхности и плоскости .

1.3.2.Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных называют также частными производными первого порядка.

Определение. Частными производными второго порядка функции называются соответствующие частные производные от ее первых частных производных. Обозначаются: или . Для функции :

= - частная производная второго порядка от функции z по аргументу .

= -смешанная частная производная второго порядка.

-смешанная частная производная второго порядка.

Определение. Частной производной - го порядка от функции называется частная производная от ее частной производной по соответствующему аргументу.

Справедливо утверждение: смешанные частные производные одного и того же порядка, отличающиеся только порядком выполнения дифференцирования равны между собой там, где они являются непрерывными функциями.

Например, если функция непрерывна вместе с частными производными, то справедливы равенства: .