19.3.2. Степенные комплексные ряды.

Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида ,

где - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности радиуса R с центром в точке - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.

2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.

3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Примеры.

1. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости - окружности - ряд из модулей сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.

2. . Ряд из модулей: . Признак Коши: .

На границе круга ряд из модулей имеет вид . Предел общего члена , поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.

3. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится (интегральный признак Коши), однако общий член , поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке ряд имеет вид и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке ряд имеет вид , следовательно, расходится.

19.4. Элементарные функции комплексной переменной.

1. Степенная функция , - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n=1 (или, непосредственно, ). Далее, дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная отлична от нуля при , следовательно, отображение при конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

2. Показательная функция . Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при : , модуль этого числа обозначим : , аргумент - : (при достаточно больших n дробь лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .

При мнимом отсюда следует, что , теперь формула Эйлера окончательно доказана.

Кратко перечислим свойства этой функции.

1. Функция аналитична на всей плоскости С, и (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).

2. (проверяется непосредственно).

3. Функция периодическая, с мнимым основным периодом ( )

Из этого свойства следует, что для однолистности отображения необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением , такой областью является, например, полоса , преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.

3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом , первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования , сохраняются обычные тригонометрические соотношения ( - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)

4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций: , .

5. Функция . Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , . Функция определяется равенством .

6. Логарифмическая функция определяется при как функция, обратная показательной: , если . Если , то последнее равенство означает, что , откуда . Таким образом, - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при называется главным и обозначается : . Так, , где k - произвольное целое число.

7. Общая показательная и общая степенная (а, z - произвольные комплексные числа, ) функции определяются соотношениями , и,следовательно, бесконечнозначны.

8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае ( , если , например), и выражаются через . Найдём, например, . По определению, это такое число w, что , или . Так как , получаем две серии значений: ,