III. Одномерное движение несжимаемой жидкости в условиях водонапорного режима

Движение жидкости считается напорным, когда пьезометри­ческая линия располагается выше верхней непроницаемой гра­ницы потока (кровли пласта).

Установившийся фильтрационный поток жидкости или газа называется одномерным в том случае, когда давление и ско­рость фильтрации являются функциями только одной коорди­наты, взятой по линии тока.

К одномерным потокам относятся:

1) прямолинейно-параллельный (или параллельно-струй­ный) фильтрационный поток;

2) плоскорадиальный;

3) радиально-сферический.

§ 1. Прямолинейно-параллельное движение несжимаемой жидкости. Приток к дренажной галерее

Прямолинейное параллельное движение имеет место в том случае, когда векторы скоростей фильтрации параллельны между собой.

Е сли пласт горизонтальный, кровля и подошва непрони­цаемы, мощность пласта h и ширина пласта В всюду одина­ковы, то в плане пласт представится прямоугольником (рис.6). Если в первом сечении пласта, соответствующем границе плас­та с областью питания, поддерживается давление р_к, а в дру­гом сечении, совпадающем, например, с дренажной галереей и отстоящем от первого сечения на расстоянии l, поддержива­ется давление р_г, то будет установившееся прямолинейно-па­раллельное движение.

Направим ось Ох вдоль линии тока.

Считая, что фильтрация происходит по закону Дарси, пласт однородный по пористости и проницаемости, можем определить объемный дебит

(III.1)

где ω = Вh — площадь сечения пласта, нормального к направлению движения;

давление в любом сечении пласта (III.2)

и время, в течение которого частицы пройдут путь х,

(III.З)

§ 2. Плоскорадиальное напорное движение несжимаемой жидкости. Приток к совершенной скважине. Формула Дюпюи

При плоскорадиальном движении векторы скорости фильт­рации направлены по радиусам к оси скважины, поэтому дав­ление и скорость фильтрации зависят только от одной коор­динаты r. При этом во всех горизонтальных плоскостях поле скоростей и давлений будет одинаковым.

Примером плоскорадиального фильтрационного потока яв­ляется приток к гидродинамически совершенной скважине, покрывшей горизонтальный пласт бесконечной протяженности на всю мощность h и сообщающейся с пластом через пол­ностью открытую боковую поверхность цилиндра, отделяющую cтвол скважины от продуктивного пласта.

Поток будет также плоскорадиальным при притоке к со­вершенной скважине радиуса r_с (или оттоке от скважины), расположенной в центре ограниченного горизонтального цилиндрического пласта мощностью h и радиусом R_K (рис. 7).

Если на внешней границе пласта, совпадающей с контуром литания, поддерживается постоянное давление р_к, а на забое скважины постоянное давление p_с, пласт однороден по пори­стости и проницаемости, фильтрация происходит по закону Дарси, то объемный дебит скважины определится по формуле Дюпюи:

(III.4)

где μ — динамический коэффициент вязкости.

Закон распределения давления определяется по одной из формул:

(III.5)

либо

(III.6)

либо

(III.7)

Линия р=р(r) называется депрессионной кривой дав­ления. Характерно, что при при­ближении к скважине градиенты давления и скорости фильтрации резко возрастают. При построении карты изобар следует учитывать, что радиусы изобар изменяются в геометрической прогрессии, в то время, как давление на изобарах изменяется арифметической прогрессии.

Индикаторная линия — зависимость дебита скважины от депрессии Δр = р_к—р_с, при притоке к скважине в условиях справедливости закона Дарси представляет собой прямую ли­нию, определяемую уравнением Q=KΔp.

Коэффициент продуктивности

(III.8)

численно равен дебиту при депрессии, равной единице.

Закон движения частиц вдоль линии тока, если при t = 0 частица находилась в точке с координатой r = r₀, описывается уравнением

(III.9)

или

(III.9a)

Средневзвешенное по объему порового пространства Ω пластовое давление

где

Подставляя выражение для p (III.5), выполняя интегрирование и пренебрегая всеми членами, содержащими r_c², полу­чим

(III.11)

Закон распределения давления и формула дебита при на­рушении закона Дарси при притоке к совершенной скважине получаются из двучленной формулы

(III.12)

Подставляя выражение для скорости фильтрации

w = Q/2πrh

в (III.12) и разделяя переменные, получим

(III.13)

Интегрируя по р в пределах от р_с до р_к и по r в пределах от r_с до R_k будем иметь

(III.14)

Решая полученное квадратное уравнение, находим дебит скважины Q. Интегрируя (III.13) по р в пределах от р до р_к и по r в пределах от r до R_к, найдем закон распределения давления

(III.15)

Как видно из (III.14), индикаторная линия при нарушении закона Дарси является параболой.

Если фильтрация происходит по закону Краснопольского, то дебит определяется по формуле

(III. 16)