2.2. Методы проверки существенности статистических связей

Критерий проверки существенности связи. Пусть для установления связей между экономическими явлениями составлена группировочная (корреляционная) таблица. Проверим объективность связи с помощью критерия . Для этого выдвинем гипотезу, что между двумя признаками нет никакой связи, а наблюдаемая связь обусловлена случайными вариациями. На основании этой гипотезы перестраиваем корреляционную таблицу: частоты в месте пересечения i-й строки с j-м столбцом заменяем теоретическими частотами , вычисленными по формуле

, (2.1)

где – сумма частот i-й строки; – сумма частот j-столбца; n – объем выборки.

Затем находим величину

, (2.2)

которая подчиняется распределению c степенями свободы.

Задавая уровень значимости = 0,05, находим по таблице -распределения критическое значение . Если вычисленное значение превышает табличное , то гипотеза независимости переменных отвергается с вероятностью 0,95 и, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что между обеими переменными существует связь.

Для объективной оценки связи между экономическими явлениями при использовании критерия наблюдения должны быть независимы, выборка – случайной, объем выборки – достаточно большим, данные должны быть выражены в абсолютных единицах, а не в процентах.

Пример 2.1. По данным, приведенным в табл. 2.8, установить и с помощью критерия проверить существенность статистической связи между средним текущим доходом (X, день. ед.) и средним расходом (Y, день. ед.) семьи.

Т а б л и ц а 2.8

X	Y		X	Y		X	Y
4,60 6,11 4,79 4,05 6,04 4,17 4,57 5,01 3,95	4,40 5,54 4,91 4,10 5,59 4,25 5,48 4,56 3,84		6,35 4,49 6,04 4,51 4,58 4,59 4,55 5,07 4,18	6,06 4,40 4,70 4,69 4,54 4,28 4,78 5,10 4,19		4,02 4,78 4,82 4,45 4,88 5,71 5,58 4,60	4,26 4,78 4,73 4,33 4,72 5,26 5,04 4,40

Для анализа зависимости между средним доходом и средним расходом семьи построим диаграмму рассеяния (рис. 2.2).

Скопление точек на диаграмме указывает на то, что с ростом текущих доходов возрастают и средние расходы семьи. Эта тенденция имеет явно линейный характер.

Строим корреляционную таблицу (табл. 2.9), определив предварительно длины интервалов признаков по формуле (1.1). Тогда .

Т а б л и ц а 2.9

Y	X
	3,95-4,37	4,37-4,79	4,79-5,21	5,21-5,63	5,63-6,06	6,06-6,48
3,84 – 4,23 4,23 – 4,62 4,62 – 5,00 5,00 – 5,40 5,40 – 5,79 5,79 – 6,18	3 2 - - - -	1 6 4 - - -	- 1 2 - - -	- - - 1 - -	- - 1 1 1 -	- - - - 1 1	4 9 7 3 2 1
	5	11	4	1	3	2	n=26

Перестроим корреляционную таблицу, заменив частоты в месте пересечения i-й строки и j-го столбца теоретическими частотами вычисленными по формуле (2.1). Тогда

Полученные результаты запишем в виде следующей матрицы:

Затем по формуле (2.2) вычислим критерий

Для нашего примера число степеней свободы = (6-1)(6-1) = 25. По таблице распределения при уровне значимости = 0,05 находим критическое значение . Так как , то между средним доходом и средним расходом семьи существует значимая статистическая связь.

Дисперсионный анализ проверки объективности связи. Суть дисперсионного анализа заключается в расчленении общей вариации данных на части и в сравнении полученных частных дисперсий. При этом предполагается, что если наблюденные данные представляют случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности, то значения всех дисперсий должны оказаться приблизительно пропорциональными степеням свободы, с которыми они вычисляются, и каждую из них можно рассматривать как приближенное выражение генеральной дисперсии. Следовательно, допускается, что расхождение между ними может быть лишь случайным. Поэтому расхождение значений дисперсии, выходящих за известные пределы при данном числе степеней свободы и принятой доверительной вероятности, свидетельствует об отсутствии связей.

Предположим, что изучается влияние фактора на признак X (наблюдаемую случайную величину), при этом проведено k (k>2) серий наблюдений. Серии наблюдений рассматриваем как k (k>2) независимых нормально распределенных случайных величин с одинаковыми дисперсиями , тогда как математические ожидания (центры распределения) могут быть различны. Пусть над каждой из случайных величин проводится независимых наблюдений:

Необходимо, опираясь на статистические данные, проверить гипотезу о том, что математические ожидания всех случайных величин , одинаковы, т.е. . Если гипотеза верна, то статистические средние каждой серии не должны значительно отличаться друг от друга. Если же статистические средние серий значительно различаются, то гипотеза должна быть отвергнута.

В простейшем случае дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений представляется в виде суммы квадратов отклонений групповых средних от общей средней и суммы квадратов отклонений внутри групп:

,

где – среднее арифметическое i-й серии наблюдений:

– общее среднее арифметическое всех наблюдений:

.

В качестве статистической характеристики для гипотезы возьмем величину

.

Если гипотеза верна, то величина F имеет F-распределение Фишера – Снедекора с и степенями свободы. Критическая область правосторонняя, т.е. ей принадлежат все значения статистической характеристики F, большие табличного значения , для которого справедливо равенство . Поэтому если , то нет основания отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних. Число находим по таблице F-распределения для заданного уровня значимости с и степенями свободы.

Схему применения дисперсионного анализа можно представить в виде табл. 2.10.

Т а б л и ц а 2.10

Дисперсия	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
По факторам между сериями
Внутри серии
Общая

Таким образом, для выяснения взаимосвязи факторов сравнивают дисперсию по факторам с остаточной дисперсией по величине их отношения. В этом сравнении и заключается основная идея дисперсионного анализа.

Пример 2.2. Применим дисперсионный анализ для проверки существенности статистической связи между количеством мяса на душу населения (X, кг) и ценой за 1 кг мяса (Y, день. ед.):

X.... 10,03 11,44 20,19 20,25 23,50 24,49 24,98 27,05

Y.... 4,60 6,50 5,84 4,54 4,96 4,78 4,85 4,87

Для проверки гипотезы о существовании связи между изучаемыми признаками разобьем данные признаков по группам, использовав формулу (1.1) для определения величины группы, и построим корреляционную таблицу 2.11, где

Т а б л и ц а 2.11

Y		X
		10,03 - 14,28	14,28 - 18,53	18,53 - 22,78	22,78 - 27,03	27,03 - 31,28
4,53 – 5,03 5,03 – 5,52 5,52 – 6,01 6,01 – 6,50	4,785 5,275 5,765 6,255	1 - - 1	- - - -	1 - 1 -	3 - - -	1 - - -	6 - 1 1
	-	2	-	2	3	1	n=8

Таким образом, мы сгруппировали исходную статистическую совокупность по переменным , i= , для которых выделены независимых наблюдений:

Принимая во внимание интерпретацию данных как совокупность переменных , i= , с независимыми наблюдениями, нужно проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий всех случайных величин , i= . Значения средних по выделенным пяти группам:

Результаты промежуточных расчетов сведены в табл. 2.12.

Т а б л и ц а 2.12

Группы	Y
	4,54 – 5,03	5,03 – 5,52	5,52 – 6,01	6,01 – 6,50
	137,376	-	33,235	22,896	40,730	462,146	193,507

Тогда

Составим соответствующую таблицу однофакторного дисперсионного анализа (табл. 2.13).

Т а б л и ц а 2.13

Дисперсия	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Внутри группы Между группами Общая	135,738 16,296 152,034	3 4 7	45,246 4,074 21,719

Статистическая характеристика

По таблице F-распределения находим или . Полученное значение меньше обоих критических значений, т.е. . Следовательно, расхождение в средней цене для выделенных четырех групп несущественно и не зависит от количества мяса на душу населения.

А это означает, что связь между изучаемыми факторами несущественна, т.е. с вероятностью 0,99 можно говорить об отсутствии связи между количеством мяса на душу населения и ценой за 1 кг.

Вопросы для самопроверки

1. Оценку какой вероятности позволяет сделать критерий ?

2. Что составляет теоретическую основу дисперсионного анализа?

3. Изложите последовательность проверки объективности связи с помощью критерия , дисперсионного анализа.

Задача. По данным, приведенным в табл. 2.14, проверьте гипотезу о взаимосвязи

энерговооруженности одного работника (X, л.с.) и валовой продукции на одного среднегодового работника сельского хозяйства (Y, день. ед.).

Т а б л и ц а 2.14

X	Y		X	Y		X	Y
32,339 28,310 29,600 26,095 33,322 28,136 31,287 29,773	10532 11079 8698 7032 12805 8854 10702 9089		26,876 30,187 36,886 33,707 31,772 28,109 33,722	9332 11982 13037 9643 8358 11208 11471		29,331 38,050 29,160 29,118 29,356 27,125 28,331	12258 13558 10722 10535 9956 9903 11050