Тема: Численные методы решения линейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Метод конечных разностей

1. Методом конечных разностей найдем решение краевой задачи:

Для грубого решения построим сеточную область с шагом h=0,4

Введем условные обозначения:

Находим a_i, b_i, c_i, b₀, c₀, a_n, b_n:

и т.д.

2. Систему уравнений решим методом прогонки.

Находим прогоночные коэффициенты:

Последующие прогоночные коэффициенты:

и т.д.

Вычислим обратную прогонку, сначала вычисляем неизвестное у₅

и т.д.

В матричной форме система имеет вид , где

Результат решения системы уравнений, соответствующий приближенному решению краевой задачи, записываем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5
xi	1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0
Yi	0	0,6603	1,2995	1,7995	2,073	2,073

Полученное решение можно принять за первую итерацию (первое приближение) решение исходной задачи на разностной сетке .

3. Для нахождения второй итерации сделаем сетку в двое гуще (n=10, шаг h=0,2) и повторим приведенный выше алгоритм. Проделаем уравнение в электронной таблице Excel и получаем второе приближение исходной краевой задачи с шагом h=0,2. Это решение приведем на таблице.

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
yi	0	0,2496	0,5207	0,7981	1,067	1,3146	1,5285	1,6988	1,8173	1,8173	1,8173

Построим графики этих двух приближений на одной координатной сетке и получим:

Как видно из приведенных данных, два приближенных решения краевой задачи отличаются друг от друга более, чем на 5%. Необходимо шаг еще раз уменьшить в 2 раза и повторяем решение.

Контрольная работа №4

Тема: Численные методы решения задач оптимизации. Линейное программирование

1. Максимизировать целевую функцию при следующих ограничениях

Строим полуплоскости, соответствующие каждому неравенству системы ограничений. Полуплоскость L₁ ограничена прямой . Аналогично строим полуплоскость L₂ ограничена прямой . Пересечение полуплоскостей L₁, L₂ и х≥0, y≥0 дает многоугольник .

Записываем прямую линию уровня функции

и строим прямые, соответствующие R=1, R=0

По графику видно, что линию уровня нужно «катить» в сторону увеличения значения R до встречи с точкой А(1,05;2,37), в которой функция цели принимает значение z_max=12,36.

Таким образом, решением задачи является: x₁=1,05, x₂=2,37, x=12,36.

Решим пример, использую возможности таблиц Excel и получим:

№нерав	Коэффициенты неравенств
	а1	b1	d1	a1x1+b1x2+c1
1,00	3,00	5,00	-15,00	0,00
2,00	5,00	2,00	-10,00	0,00
3,00	1,00	0,00	0,00	1,05
4,00	0,00	1,00	0,00	2,37
	x1	x2
	1,05	2,37
		zmax
		12,37

Максимизацию целевой функции при ограничениях выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения, функция цели при ограничениях достигает своего максимума z_max=12,37 при x₁=1,05, x₂=2,37, что соответствует решению этой же задачи геометрическим методом.