Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции при условии, что x₁, x₂, x₃ удовлетворяют уравнению

Решение. Уравнение связи определяет в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат . Так как сфера — замкнутое

ограниченное множество, то согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на ней своего наибольшего и наименьшего значений. Необходимо найти условный глобальный экстремум. Запишем уравнение связи в виде:

Составим функцию Лагранжа: Найдем частные производные этой функции по x₁, x₂, λ.

Приравняв частные производные нулю, получим систему:

Решая систему, получим стационарные точки, в которых найдем значения функции Z.

Выберемиз всех значений z наибольшее и наименьшее: z_наиб. = 1, а z_наим. = 0. Легко видеть, в каких точках сферы достигаются эти значения.

Если число переменных n = 2, нелинейные задачи можно решать геометрически. Ограничения должны быть записаны в виде неравенств

φi (x1, x2 ) ≤ bi , i = 1, 2, ..., m,

(13)

а целевая функция иметь вид

z = f(x1, x2 )

(14)

Как и в случае геометрического решения задач линейного программирования, сначала необходимо построить область допустимых решений (ОДР) — множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам (13). Но в отличие от задач линейного программирования здесь ОДР не обязательно будет выпуклой и может быть даже разрывной. Экстремум функции может достигаться и внутри области, и на границе. После построения ОДР следует записать уравнения линий уровня целевой функции — множество точек плоскости, в которых целевая функция (14) постоянна: f(x₁, x₂ ) = C, и определить направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений С. Затем, перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР, найти точки области, в которых целевая функция принимает оптимальное значение.

Пример 4

Найти наибольшие значения функции z = 2x₁² - x₂ при ограничениях

Решение ОДР (рис. 2.8) ограничена прямыми x₁ — x₂ = 2, x₂ = 4, осями координат x₁ = 0, x₂ = 0 и гиперболой x₁ + x₂ - x₁ x₂ - 0, уравнение которой приводится к виду

Линии уровня целевой функции — 2x₁² - x₂ = C

Для разных значений С графиком уравнения x₂ = 2x₁² - C является парабола с осью симметрии, совпадающей с осью ординат. При С = 0 парабола проходит через начало координат. При С > 0 параболы

сдвигаются вниз. Перемещая в направлении возрастания, получим, что линии уровня покидают ОДР через точку X* пересечения гиперболы и прямой x₁ - x₂ = 2.

Решая систему, составленную из этих двух уравнений, получим Поэтому или z_max ≈ 21,9.

Упражнения

1. Найти локальный экстремум следующих функций:

1вариант . Z = x³ + y³ + 3xy 2 вариант. Z = x³y² (12 - x - y), x > 0, y > 0 3 вариант. Z = x² + xy + y² + x – y + 1

2. В задачах найти глобальный экстремум функции Z в области решений системы неравенств (или неравенства). Дать геометрическое решение.

1вариант. Z = 3x₁ + х₂ 2 вариант. Z = x₁² + 2x₂ - 3 3 вариант. Z = x₁ x₂

3. В задачах найти условный экстремум с помощью метода Лагранжа:

1вариант. Z = x₁ x₂ при x₁² + x₂² = 2 2 вариант. Z = x₁ + x₂  при  3вариант. Z = x₁³ + x₂³ при x₁ + x₂ = 2, x₁ ≥ 0, x₂  ≥ 0