2.Знаходження похідних у Maxima
Пакет Maxima надає потужні засоби для диференціювання функцій та обчислення диференціалов.
Функція diff() дозволяє знайти похідні як першого, так і вищих порядків. При наявності у функції декількох змінних можна знайти частинну похідну по одній з них.
Синтаксис:diff(функція,змінна,порядок похідної),де функція-вираз,що задає функцію(не обов’язково однієї змінної);змінна-ім’я змінної ,по якій буде виконуватись диференціювання;
Приклад: знайти першу похідну функції
Спочатку введемо функцію f(x)=exp(x)/x^2.Для обчислення похідної вводиться команда:diff(y(x),x,1);або diff(y(x),x).У випадку першої похідної ії порядок можна не вказувати.
При обчисленні кратних похідних по декільком змінним після вказання функції перераховуються змінні диференціювання з вказанням відповідних кратностей,наприклад
Diff(x^8*y^5,x,4,y,2);-диференціює функцію по змінній х чотири рази та по змінній у два рази
Якщо функція diff() містить тільки один аргумент, то функція diff(вираз) обчислює не похідну записаного виразу, а повний диференціал цього виразу. Іншими словами,запис diff(f,x) рівнозначна математичному позначенню dfdx, а diff(f)-df.
Крім того,функція diff() використовується ще й для позначення похідних в диференціальних рівняннях.
Приклад:Для заданого виразу f(x) обчислити першу,другу та третю похідні.
Приклад:Обчислення диференціала (del(x) рівноцінне dx,не вказана явно змінна диференціювання):
Аналогічний підхід застосовується і для функції декількох змінних. Функція diff з єдиним аргументом-повертає повний диференціал.
Приклад:
Приклад:
3.Розклад функції у степеневий ряд у Maxima
3.1 Використання функції taylor
Синтаксис:taylor(функція
x,a,n);Параметр
n
визначає,до
якого степеня параметру розкладу
знаходити рішення.
Приклад: Розкласти функцію sin(x)+ax+1 в ряд Тейлора по степенях х+1 до третього степеня.
Приклад:Знайти
многочлен Тейлора 9-го степеня
експоненціальної функції
в початку координат.
Многочлени
Тейлора дают найбільш точну апроксимацію
наближеної функції поблизу точки
.
По мірі віддалення відцієї точки похибка
зростає.Для наближення необхідно
використовувати многочлени Тейлора
вищого степеня.
Приклад:Знайти число е з точністю до 0.001. Покладемо х=1. Тоді щоб обчислити значення, необхідно виконати серію команд:
Будуємо розклад функції в ряд Тейлора(до 8 порядку включно)
Обчислимо частинну суму ряда при х=1:
Поряд з командою taylor для розкладу функції від декількох змінних в ряд Тейлора використовується команда powerseries(вираз,х,а)(будується розклад для заданого виразу по змінній х в околі а).Результатом виконання команди powerseries може бути побудова ії ряду Тейлора в загальній формі,нaприклад:
Приклад:Знайти розклад арккосинуса в ряд Маклорена .
3.2 Використання функції pade
Пакет Maxima дозволяє не тільки будувати розклад різноманітних функцій в степеневі ряди,а й представляти їх у вигляді дробово-раціональної функції(апроксимація Паде).
Паде-апроксимація найбільш ефективна для функцій,що мають полюси на комплексній площині в околах точки розкладу.
Функція pade,представлена в пакеті Maxima,апроксимує відрізок ряду Тейлора, що містить доданки до n-го порядку включно,дробово-раціональною функцією.
Синтаксис:pade(ряд Тейлора,степінь чисельника,степінь знаменника );
Замість ряду Тейлора може використовуватись ряд Лорана. В цьому випадку степені чисельника і знаменника можуть бути нескінченними.
Приклад:
