14.Метод Эйлера для случая различных и вещественных корней характеристического уравнения.

Решая характеристическое уравнение, получим вещественные различные корни λ=х, i=1,2,…n.

При подстановке значения каждого корня в уравнения (2)

(A-λ_i*E)*h⁽ⁱ⁾=0 (2)

Можно определить значения собственного вектора соответствующего данному корню.

*h⁽ⁱ⁾=0 (1)

Учитывая, что

i=1,2…n

Получим систему уравнения, решая которую находим удовлетворяющие ее компоненты вектора h⁽ⁱ⁾

(в выражении (1) матрица умножается на вектор-столбец. По схеме уравнения результатом будет матрица-столбец.

(a₁₁-λ_i)*h_i,1+a₁₂*h_i,2+…+a_1n*h_i,n=0

a₂₁*h_i,1+(a₂₂-λ_i)*h_i,2+…+a_2,n*h_i,n=0 (3)

… … … … …

a_n1*h_i,1+a_n2*h_i,2+…+(a_nn-λ_i)*h_i,n=0

Методика решения этих систем линейной зависимость вектор-стобцов.

15.Способы нахождения собственных векторов при решении системы диф. Ур-й.

Нахождением вектора h^(1) является нахождение алгебраических элементов первой строки матрицы |A-лямда*Е| при соответствующих численных значениях лямда.

Это возможно из следующих положений:

-для любой квадратной матрицы надо вычислить ее собственные значения и ее собственные векторы.

-Число независимых собственных векторов m=n-rang(A)

m-число неизвестных векторов

n-порядок матрицы

Две матрицы А с различными собственными значениями доказана теормера,гласящая,что ее число называемое собственным вектором всегда равно m=n-1

16.Представление решения диф. Ур. В матричном виде.

1.Общее решение системы Х представляет собой вектор-столбец из элементов Хi. Последние выражения являются скалярными

2.Для получения в матричном виде скалярную величину при умножении двух матриц надо первую представить в виде матрицы строки,а вторую в виде матрицы-столбца.

Далее идут примеры из тетради

17.Метод решения системы диф. Ур-й в случае кратных корней.

Число независимых собственных векторов вычисляется как разность порядка системы уравнений и ранга лямды-матрицы m=n-rang(A-лямда*E)

Выделяют 2 случая

-для корня кратности К имеются m линейно независимых собственных векторов H^1,H^2…H^m/

-Для корня кратности К имеются m линейно независимых собственных векторов,причем m<k.

Случай 1

X(t)=C1*H^1*e^(лямда*t)+c2*H^2*e^( лямда*t)+……+Ck*H^n* e^( лямда*t)

Случай 2

X1(t)=p^(k-m)(t)* e^( лямда*t)

X2(t)=Q^(k-m)(t)* e^( лямда*t)

X3(t)=S^(k-m)(t)* e^( лямда*t)

*лямда пишется с нижним индексом к.Тоесть ЛЯМДА(к)

Где P(t),Q(t),S(t) алгебраические полиномы степени (k-m) с неизвестными коэффициентами

Для нахождения неизвестных коэф-тов полиномов,следует выполнить подстановку их варажений в исходную систему диф.уравнений

Приравниваем коэф-ты подобных членов в левой и правой частях ур-й,получим систему линейных алгебраических ур-й относительно искомых коэф-ов.

Причем кол-во коэф-ов равное кратности корня,являются произвольными,а остольные коэф-ты выражаются через них.

18Метод решения системы дифференциальных уравнений в случае комплексных корней.

Для получения решения воспользуемся следующим положениями

1.Если коэффициенты системы дифференциальных уравнений вещественные, то решение выражается только через вещественные функции.

2.Вещественная и линейная часть комплексного решения соответствующая корню, является линейно-независимыми решениями.

Для корня λ и β частное решение системы имеет вида

X₁(t)=h₁*e^(α+iβ)*t

X₂(t)=h₂*e^(α+iβ)*t

X_n (t)=h_n*e^(α+βi)t

Пусть

X₁₁(t)=Re[h₁*e^(α+Iβ)t]

……………………..

X_1n (t)=Re[h_n*e^(α+Iβ)t]

X₂₁(t)=Re[h₁*e^(α+Iβ)t]

………………………….

X_2n (t)=Re[h_2n*e^(α+Iβ)t]

Тогда решение за счет комплексных корней выразится через два найденных линейно-независимых решений:

X₁(t)=C_1*X₁₁+C₂*X₂₁; X₂(t)=C_1*X₂₁+C₂*X₂₂

X _n (t)=C_1*X _n +C₂*X_{2 n}

Решения соот-щие корню λ=α-iβ, ,будут линейно зависимыми, поэтому учитывать их не нужно.