2. Основные соотношения метода конечных элементов

Метод конечных элементов получил широкое распространение как эффективный инструмент решения многих прикладных задач современной техники. В отличие от метода конечных разностей, в котором приближенное решение краевой задачи ищется путем дискретизации соответствующих дифференциальных уравнений, МКЭ основан на численном решении соответствующей вариационной задачи. В вариационном исчислении доказывается эквивалентность задачи отыскания решения краевой задачи вида (1.11) – (1.13) задаче поиска функции , доставляющей минимум функционалу

(1.14)

Переменная величина Ф называется функционалом, зависящим от функции ( ), если имеет место соответствие: функции соответствует число Ф.

Идея МКЭ заключается в следующем. Вся область разбивается на подобласти простейшей формы – конечные элементы. В случае плоской задачи в качестве конечных элементов наиболее часто используются четырехугольные и треугольные элементы. Внутри каждого элемента искомое распределение температуры ищется в виде интерполяционного полинома.

Если в качестве интерполяционного используется линейный полином вида

, (1.15)

то соответствующий конечный элемент называется симплекс-элементом.

2. Определение параметров теплоотдачи матричной лопатки гтд

Исходные данные для расчета матричной лопатки:

Длина хорды лопатки	b=40 мм;
Характерная скорость газа на участке
Входная кромка	,
Средняя часть	,
Выходная кромка	;
Характерная скорость охладителя в каналах
Канал №1	,
Канал №2	,
Каналы № 3 – 7	,
Выходная кромка	;
Материал лопатки	ЖС6-К

Для расчета полей температур в МКЭ по уравнению необходимо знать значения температур омывающих лопатку газа и охлаждающего воздуха, а также коэффициенты теплоотдачи на каждом участке профиля.

Температуры газа и воздуха в данном расчете принимаем такими же, как и при расчете дефлекторной лопатки:

,

;

Аналогично предыдущему, выделим в матричной лопатке участки входной и выходной кромок и среднюю часть.

Определение коэффициентов теплоотдачи от газа к лопатке

а) Входная кромка.

Средний коэффициент теплоотдачи на участке входной кромки определяется из соотношения , где при определении

и в качестве характерного размера принят удвоенный

радиус входной кромки:

;

в качестве характерной скорости - скорость набегающего потока;

коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности выбираются по параметрам заторможенного потока перед лопаткой:

плотность продуктов сгорания определим как

Т.к. , то принимаем и n=0.63.

б) Средняя часть.

Для средней части профиля коэффициент теплоотдачи можно определять, пользуясь критериальной зависимостью:

,

где в качестве характерного размера принята длина хорды лопатки: в качестве характерной скорости - скорость газа в узком сечении на выходе из решетки: величина коэффициента .

_{Таким образом, окончательно получим:}

;

Это коэффициент теплоотдачи на среднем участке со стороны спинки и корытца.

В) Выходная кромка.

Коэффициент теплоотдачи от газа к лопатке на участке выходной кромки определяется по критериальным зависимостям вида

В качестве характерного размера принята хорда профиля;

в качестве характерной скорости - скорость газа на выходе из решетки; коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности газа определяются по температуре заторможенного потока.

Т.к. ,

то получим

Коэффициенты теплоотдачи от лопатки к охлаждающему воздуху.

Проведем расчет теплоотдачи от лопатки к охлаждающему воздуху.

Коэффициенты теплоотдачи на i-м участке границы профиля определяются в этом случае из критериальной зависимости вида

, (1.26)

Определим характерный размер в качестве которого принимается гидравлический диаметр канала для течения охлаждающего воздуха:

Определим плотность

_где

Коэффициенты теплопроводности и динамической вязкости охлаждающего воздуха выбираются по температуре охлаждающего воздуха в канале:

В качестве характерной скорости выступает средняя скорость движения воздуха в канале:

Определим значения коэффициентов теплоотдачи к охлаждающему воздуху со стороны спинки:

отсюда получим:

Определим значения коэффициентов теплоотдачи к охлаждающему воздуху со стороны корытца:

_{отсюда получим:}