4 Свойства групп

Так, для положительных действительных чисел операция f(a, b) = ab не коммутативна, т. к.  . Первая обратная операция   существует; вторая же - f2(c, a) = logac не определена для a = 1 и  , а также для таких a и c, когда   (ведь мы рассматриваем нашу операцию лишь на множестве положительных чисел). В тех же случаях, когда вторая операция также определена, она не совпадает с первой операцией.

     В одном и том же множестве может быть задано несколько алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому из основных понятий современной алгебры, именно к понятию группы.

     Определение 2. Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает нижеследующими свойствами:

     I. (Закон ассоциативности) a(bc) = (ab)c;

     II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

     Приведем несколько примеров групп.

     Пример 1. Все целые, все рациональные, все действительные и все комплексные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения.

     Ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0*x = 1 не имеют решения.

     Пример 2. Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел.

     Пример 3. Множество G двух элементов e и a с операцией, заданной равенствами ee = aa = e, ea = ae = a, является группой.

5. Подгруппы и полугруппы

В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента. Мы не будем предполагать непустоту и существование единицы, а полугруппу с единицей будем называтьмоноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую единицы, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент   и определив  .

Примеры полугрупп  Править

Положительные целые числа с операцией сложения.

Любой моноид (в частности, любая группа) является также и полугруппой.

Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Любое подмножество полугруппы, замкнутое относительно полугрупповой операции.

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что   Две такие полугруппы считаются неразличимыми для полугрупповой теории.

Структура полугруппы  Править

Введем несколько понятий, полезных для описания полугрупп.

Прежде всего отметим, что для краткости символ полугрупповой операции обычно опускается. Таким образом, запись  , где  , а   - это полугруппа с операцией  , нужно интерпретировать как  . Аналогично,

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции, т. е. AA есть подмножество A. Если A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией вычитания. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Подполугруппы, которые являются группами, называют также просто подгруппами. Существует тесная связь между подгруппами полугруппы и ее идемпотентными элементами. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотентный элемент - единицу этой подгруппы. Для каждого идемпотента е в полугруппе существует ровно одна максимальная подгруппа, содержащая е. Таким образом порождается каждая максимальная подгруппа, а значит, существует взаимно-однозначное соответствие между идемпотентами и максимальными подгруппами полугруппы.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

Подгруппа ― подмножество   группы  , само являющееся группой относительно операции, определяющей  .

Подмножество   группы   является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

содержит произведение любых двух элементов из  ,

содержит вместе со всяким своим элементом   обратный к нему элемент  .

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

Примеры  Править

Подмножество группы  , состоящее из одного элемента  , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы  .

Сама   также является своей подгруппой.

Связанные определения  Править

Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некотоpoй бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.

Сама группа   и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.

Пересечение всех подгрупп группы  , содержащих все элементы некоторого непустого множества  , называется подгруппой, порожденной множеством  , и обозначается  .

Если   состоит из одного элемента  , то   называется циклической подгруппой элемента  .

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.

Если группа   изоморфна некотоpoй подгруппе   группы  , то говорят, что группа   может быть вложена в группу  .

Свойства  Править

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы   является подгруппой группы  .

Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп   и   называется подгруппа, порожденная объединением множеств  .

Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.

Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.cs:Podgrupa

6. В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение иумножение целых чисел.

Содержание  [показать]

Определения  Править

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение иумножение), со следующими свойствами:

 — коммутативность сложения;

 — ассоциативность сложения;

 — существование нейтрального элемента относительно сложения;

 — существование обратного элемента относительно сложения;

 — дистрибутивность.

Кольца могут обладать следующими свойствами:

ассоциативность умножения:   (ассоциативное кольцо);

наличие единицы:   (кольцо с единицей);

коммутативность умножения:   (коммутативное кольцо);

отсутствие делителей нуля:  .

Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда такжеобластями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Связанные определения  Править

Непустое подмножество   назывется подкольцом  , если   само является кольцом относительно операций, определенных в  .

Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.

Коммутативное тело называется полем.

Примеры  Править

 — целые числа (с обычным сложением и умножением).

 — кольцо вычетов по модулю натурального числа n.

 — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.

 — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.

 — кольцо многочленов от n переменных над полем  .

Кольцо когомологий

7 Первое из этих равенств доказывается так:

ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a*0 = 0,

откуда a(-b = -ab.)

     Второе вытекает из первого:

(-a)b = b(-a) = -ba = -ab.

     Третье следует из первых двух:

(-a)(-b) = -(-a)b = -(-ab) = ab.

     По индукции законы дистрибутивности обобщаются на любое конечное число слагаемых, а затем и на произведение двух сумм.

     Справедливы, таким образом, равенства

     (4)

     Отсюда и из свойств кратного при совпадении слагаемых каждой суммы, т. е. при

ai = a (i = 1, 2, ..., n), bk = b (k = 1, 2, ..., m),

следует далее:

     (5)

8.   Подкольцо. Подмножество M кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех эе операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R.

     Так, кольцо четных чисел является подкольцом кольца целых чисел, а последнее в свою очередь - подкольцом кольца рациональных чисел.

     При выяснении того, является ли данное множество кольца подкольцом, нет надобности проверять справедливость всех свойств кольца. Большинство из них автоматически переходит с кольца на любое его подмножество. Удобнее всего пользоваться для этого такой теоремой:

     Теорема 4. Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали M.

     Доказательство. Для доказательства необходимости этих условий предположим, что M является подкольцом R. Сложение в M совпадает со сложением в R. Но из единственности обратной операции следует, что и вычитание в M совпадает с вычитанием в R. Поэтому сумма, разность и произведение любых двух элементов из M (определенные в кольце R) должны принадлежать снова к M, так как иначе одна из этих операций для данных двух элементов M была бы невыполнима в M, что противоречит определению кольца и следующей из него выполнимости вычитания.

     Для доказательства достаточности предположим, что множество M удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма и произведение (определенные в R) любых элементов из M снова принадлежат к M, то их можно принять за результат сложения и умножения в M. Этим в M будут определены сложение и умножение. Свойства I, II. IV, V и VI переносятся автоматически с Rна любое его подмножество и, значит, выполнены в M. Пусть a и b - элементы M. Тогда b - a = c также есть элемент M. Но по свойству разности в R имеем:

a + (b - a) = b или a + c = b.

Таким образом, и свойство III выполнено в M, и M является подкольцом кольца R.

9. По́ле в общей алгебре — множество F с двумя бинарными операциями   (аддитивная операция, или сложение) и   (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативноеассоциативное кольцо c единицей  , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями   (сложение) и   (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению  , все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению  , и выполняется свойство дистрибутивности.

Содержание   [убрать]  1 Связанные определения 2 Свойства 3 Примеры множеств, являющихся полями 4 Ссылки

Связанные определения [править]

Характеристика поля — наименьшее положительное целое число   такое, что сумма   копий единицы равна нулю:      Если такого числа не существует, то характеристика равна   по определению.

Подполем поля   называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в  . (Подполем поля   называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в  , несущим множеством которого является подмножество несущего множества  )

Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.