3 Статистическая проверка существенности нарушения однородности рядов

3.1 Статистический анализ существенности нарушения однородности значений временных рядов заключается в установлении правила для проверки нулевой гипотезы. Суть нулевой гипотезы состоит в признании того, что выборки взяты из одной совокупности и распределение фактических данных согласуется с теоретическим. Проверка нулевой гипотезы производится с использованием статистических критериев, позволяющих с помощью доверительных интервалов сделать вывод - принять или отвергнуть ее. При этом принятие нулевой гипотезы не означает ее подтверждения и для этого требуется дополнительный анализ или новые данные наблюдений.

3.2 статистические критерии для оценки нарушения однородности рядов подразделяются на параметрические и непараметрические. К гидрологическим характеристикам, имеющим асимметричное распределение, эффективно применение непараметрических критериев.

Критерии - это показатели, вычисляемые по фактическим данным. Непараметрические критерии определяются путем ранжирования наблюденных величин ряда и установления между ними соответствия вида “больше” (>), “меньше” (<) или же , .

3.3 Статистическая проверка гипотез предусматривает установление уровня значимости - достаточно малого значения вероятности, которое характеризует практически невозможное событие. При статистическом анализе существенности нарушения однородности случайных величин обычно принимают уровни значимости 0,01 или 0,05. В гидрологической практике при этом приходится считаться с колебаниями водности, что требует выбора соответствующего уровня значимости.

3.3.1 Если две выборки (периоды до и после нарушения однородности) близки по водности, то достаточно принять уровень значимости 0,05.

Водность периодов оценивается по объектам-аналогам или по стокоформирующим факторам, как отношение стока (осадков, уровней воды и т.д.) второго периода, соответствующего периоду с нарушенным режимом (u₂) к первому–с естественным режимом (u₁). Коэффициент водности тогда равен К_В = u₂ / u₁.

3.3.2 При различии двух выборок (однородной и неоднородной) рассматриваемого ряда наблюдений по водности анализируется сочетание знака изменений (тенденции) и водности. При однозначном изменении тенденции величин стока и водности принимается уровень значимости 0,01, при различной направленности этих процессов - 0,10.

3.4 Мощность (чувствительность) непараметрических критериев снижается при различии периодов по водности, что обычно присуще малым выборкам и в условиях повышенной изменчивости характеристик водного режима.

3.5 Статистический анализ однородности временных рядов производится при объеме выборок до 25 единиц с помощью рангового критерия Вилкоксона и при большем объеме по критерию Колмогорова-Смирнова.

3.5.1 Сущность применения рангового критерия Вилкоксона (W_X) заключается в следующем. Статистика критерия Вилкоксона W_X вычисляется после ранжирования в возрастающем порядке обеих выборок х и у в общую последовательность.

Тогда

W_X = r₁ + r₂ + . . . + r_n . (1)

W_X=1+4+6+8+10+12+13+16+19=89;

W_У=2+3+5+7+9+11+14+15+17+18+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31=381;

где r₁, r₂ . . . r_n - ранги (порядковые номера величин) меньшей по объему выборки, а при их равенстве - первой из них (т.е. х). Если значение х=у, то принимается 1/2 ранга для х и у.

Для контроля вычисления W_X полезно подсчитать W_У и сопоставить их общую сумму по следующему выражению:

W_X + W_У = 1/2 (n_x + n_y) (n_x + n_y +1), (2)

где n_x и n_y - объемы первой (меньшей) и второй выборок.

Проверка нулевой гипотезы производится с помощью граничных значений критерия W_, который вычисляется по выражению:

W_ = MW  Z , (3)

W_=150+1,64*23,6=188,7;

W_=150-1,64∙23,6=111,3;

188,789111,3;

W_=150+1.96*23,6=196,2;

W_=150-1,96∙23,6=103,8;

196,2; 89103,8;

W_=150+2,58∙23,6=210,88;

W_=150-2,58∙23,6=89,12;

210,888989,12;

Вывод: Статистика ряда при первом уровне значимости Z=0,1 выходит за пределы интервала и ряд признается неоднородным, следовательно хозяйственная деятельность человека влияет на формирование стока реки Белой.

где W_ - критическое значение статистики при соответствующем уровне значимости ;

MW - математическое ожидание статистики W_Х;

Z - значение нормированного отклонения нормального распределения, равные для двустороннего критерия при уровнях значимости 0,10, 0,05 и 0,01 соответственно 1,64, 1,96 и 2,58;

 - среднее квадратическое отклонение статистики.

Математическое ожидание определяется по формуле:

MW = [n_x (n_x + n_y + 1)] / 2, (4)

где n_x и n_y - объемы первой (меньшей) и второй выборок.

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по выражению:

 =  [n_x n_y (n_x + n_y + 1)] / 12. (5)

= [10*21(10+21+1)]/12=23,6;

Граничные значения W_ могут быть также получены по специальным таблицам применительно к двустороннему критерию. По данным объема первой и второй выборок с учетом уровня значимости для двустороннего критерия по таблице определяется нижнее значение W_Н и его удвоенное математическое ожидание (2MW). Верхнее критическое значение W_В получается по разности между 2MW и нижним критическим значением W_Н, т.е. W_В = 2MW - W_Н. Нулевая гипотеза отвергается когда W_Х  W_Н и W_Х  W_В т.е. ряд признается неоднородным.

3.5.2 Критерий Колмогорова-Смирнова применяется для выборок объемом более 25 единиц каждая. Суть его состоит в том, что по двум исследуемым выборкам строятся обычном путем кривые обеспеченности и определяется максимальная разность между рядами по обеспеченности (p_max = p₁ - p₂) при одинаковом значении по ординате.

Критическое значение p_ в зависимости от уровня значимости рассчитывается по выражению:

p_ =  1/2 ln 2/ (1/n_x + 1/n_y), (6)

которое можно для удобства вычислений представить в другой форме:

p_ = _ ( n_x + n_y)/( n_x n_y), (7)

где значения _0,05 = 1,36 и _0,01 = 1,63. Тогда остается по объемам выборок рассчитать вторую часть подкоренного выражения и получить p_. Нулевая гипотеза (Н₀) отвергается, т.е. ряд признается неоднородным при условии p_max  p_.

3.6 В случае, когда при графическом анализе установлено нарушение однородности, но статистически нулевая гипотеза не может быть отвергнута при соответствующих уровнях значимости, к оценке привлекается генетический анализ.

Таблица 2 Порядок оценки однородности ряда VIII месяца стока р. Белая-г.Уфа по критерию Вилкоксона

Годы	Расходы воды м3/с	Выборки				Рант выборки		Ранжирование
		Х	У	После ранжирования		Rх	RУ
				Х	У
1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938	984 1520 904 511 953 1550 1180 958 1120 807 2440 673 384 365 1590 965 429 844 1250 785 1140 823 634 364 782 605 682 503 402 937 604	823 634 364 782 605 682 503 402 937 604	984 1520 904 511 953 1550 1180 958 1120 807 2440 673 384 365 1590 965 429 844 1250 785 1140	364 402 503 604 634 682 782 823 937	365 384 429 511 605 673 785 807 844 904 953 965 958 984 1120 1140 1180 1250 1520 1550 1590 2440	1 4 6 8 10 12 13 16 19	2 3 5 7 9 11 14 15 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31	364 365 384 402 429 503 511 604 605 634 673 682 782 785 807 823 844 904 937 953 965 958 984 1120 1140 1180 1250 1520 1550 1590 2440
∑						89	381