7.1.1. Факторные нагрузки

Коэффициент взаимосвязи между некоторым признаком и общим фактором, выражающий меру влияния фактора на признак, называется факторной нагрузкой данного признака по данному общему фактору.

Матрица, состоящая из факторных нагрузок и имеющая число столбцов, равное числу общих факторов, и число строк, равное числу исходных признаков, называется факторным отображением или просто факторной матрицей. Основой для вычисления этой матрицы является матрица парных коэффициентов корреляции исходных признаков. Как известно, корреляционная матрица фиксирует степень взаимосвязи между каждой парой признаков. Аналогично факторная матрица фиксирует степень линейной связи каждого признака с каждым общим фактором. Таким образом, величина факторной нагрузки не превышает по модулю единицы, а знак ее говорит о положительной или отрицательной связи признака с фактором. Чем больше абсолютная величина факторной нагрузки признака по некоторому фактору, тем в большей степени этот фактор определяет данный признак. Значение факторной нагрузки по некоторому фактору, близкое к нулю, говорит о том, что этот фактор практически на данный признак не влияет.

Факторная модель дает возможность вычислять вклады факторов в общую дисперсию всех признаков. Суммируя квадраты факторных нагрузок для каждого фактора по всем признакам, получаем его вклад в общую дисперсию системы признаков: чем выше доля этого вклада в общей дисперсии, равной, очевидно, числу признаков, тем более значимым, существенным является данный фактор. При этом можно выявить и оптимальное в некотором смысле количество общих факторов, достаточно хорошо описывающих систему исходных признаков.

7.1.2. Факторные веса

Значение (мера проявления) фактора у отдельного объекта называется факторным весом объекта по данному фактору. Факторные веса позволяют ранжировать, упорядочить объекты по каждому фактору. На практике ограничиваются вычислением факторных весов по нескольким наиболее значимым факторам. Чем больше факторный вес некоторого объекта, тем больше в нем проявляется та сторона явления или та закономерность, которая отражается данным фактором. Если, например, речь идет о факторе, выражающем уровень развития в определенном аспекте, то большой факторный вес свидетельствует о высоком уровне развития данного объекта, а низкий факторный вес – о низком уровне. Факторные веса могут быть как положительными, так и отрицательными. В силу того, что факторы являются стандартизованными величинами со средним значением, равным нулю, факторные веса, близкие к нулю, говорят о средней степени проявления фактора, положительные – о том, что эта степень выше средней, отрицательные – о том. что она ниже средней.

Таблица факторных весов имеет n строк по числу объектов и k столбцов по числу общих факторов. Положение объектов на оси каждого фактора показывает, с одной стороны, тот порядок, в котором они ранжированы по этому фактору, а с другой стороны, равномерность или же неравномерность в их расположении, наличие скоплений точек, изображающих объекты, что дает возможность визуально выделять более или менее однородные группы.

Обычно факторы выделяются последовательно, в соответствии с их вкладами в суммарную дисперсию признаков: сначала находится фактор, имеющий максимальный вклад, затем его влияние устраняется, и для матрицы остаточных корреляций снова ищется фактор с максимальным вкладом и т.д. Процесс последовательного нахождения факторов прекращается, если их суммарный вклад превысит определенный, заранее выбранный порог. Существуют и другие критерии прекращения процесса поиска факторов.