1.2. Підгрупи, класи суміжності. Теорема Лагранжа

Означення 1.11: підгрупою Н групи G називається така її підмножина Н, що теж є групою відносно тієї ж самої групової операції, що визначена у групі G.

Кожна група G має дві тривіальні підгрупи: {е} і G. Всі інші підгрупи (якщо вони існують) називаються власними.

Приклади 1.12.

1. (Z, +) є підгрупою групи (R, +).

2. Нехай G – група, аG. Розглянемо множину <a> = {a^k, kZ}, де , , a⁰ = e. Очевидно, що <a> – підгрупа групи G. Таку підгрупу називають підгрупою, породженою елементом а.

Означення 1.13: нехай G – група, аG. Якщо існує таке nN, що aⁿ = e, то число ord a = min{nN: aⁿ = e} називається порядком елемента а (у групі G). У противному випадку (якщо не існує такого nN, що aⁿ = e) вважається, що ord a = . Якщо ord a < , то а називається елементом скінченного порядку; в іншому випадку а – елемент нескінченного порядку.

Зрозуміло, що при |G| <  для будь-якого елементу aG виконується: ord a <  . Дійсно, за означенням операції, k 1: a^kG, тому кількість різних степенів елемента а скінченна. Відповідно, для деяких l, mN (l  m): a^l = a^m, тобто a^{l – m} = e.

Також очевидно, що ord a |G|, і якщо ord a = n, то a^{n – 1} = a^–1.

В абелевій групі замість aⁿ пишуть na.

В нескінченній групі можуть існувати елементи скінченного порядку. Наприклад, порядок нейтрального елемента будь-якої групи дорівнює 1.

Приклади 1.14.

1) Нехай G = Z₅ (групова операція – додавання за модулем 5); a = 3. Тоді ord a = 5. Дійсно, ord а  1, так як а  0; далі, a +a=1, a+ a+ a=4, a+ a+ + a+ a=2, a+ a+ a+ a+ a=0, отже, ord a = 5.

2) У групі (Z, +) будь-який елемент а  0 є елементом нескінченного порядку.

Означення 1.15: група G називається циклічною групою, якщо

.

Тоді елемент g називають твірним (породжуючим, утворюючим) елементом групи G, або її генератором, а групу G – циклічною групою, породженою елементом g.

Іншими словами, група G називається циклічною, якщо існує такий елемент gG, що G = <g>.

Якщо g – твірний елемент групи G, то зрозуміло, що ord g=|G| (в тому числі для нескінченної групи).

Зауваження 1.16: в наших позначеннях, a b (mod n) a – b<n>, де <n> – підгрупа групи (Z, +), породжена елементом n, тобто <n> = {kn, kZ}.

Приклад 1.17. Група (Z, +) – нескінченна циклічна група, яка має два твірні елементи: +1 та –1. Для будь-якого nZ підгрупа <n> групи Z також є циклічною з твірними елементами n та –n.

Будь-яка нескінченна циклічна група G з твірним елементом а взаємно-однозначно відображається на (Z, +) відображенням a^k k, kZ, aG.

Нехай далі Н – підгрупа групи G; g₁, g₂G.

Означення 1.18 (узагальнення порівняння): будемо говорити, що g₁ g₂ mod H ("елемент g₁ конгруентний елементу g₂ за модулем підгрупи H"), якщо g₁^–1·g₂H.

Останній вираз рівносильний кожному з виразів g₂^–1·g₁H та hH:g₂ = g₁^–1·h.

Вирази g₂^–1·g₁ та g₁^–1·g₂ називають лівими різницями елементів g₁ та g₂; вирази g₂·g₁^–1 та g₁·g₂^–1, відповідно, правими різницями. Легко довести, що g₂^–1·g₁H тоді і тільки тоді, коли g₁^–1·g₂H; аналогічне твердження виконується і для правих різниць.

Теорема 1.19: відношення g₁ g₂ mod H є відношенням еквівалентності.

Доведення:

1) рефлексивність: g₁ = g₁е, еH;

2) симетричність: g₁ g₂ mod H g₁ = g₂h, hH g₂ = h^–1g₁, h^–1H g₂ g₁ mod H;

3) транзитивність: g₁ g₂ mod H, g₂ g₃ mod H g₁ = g₂h₁, g₂ = g₃h₂ g₁ = g₃h₂h₁, h₂h₁H g₁ g₃ mod H. Теорему доведено.

Означення 1.20: нехай aG. Лівим класом суміжності (або суміжним класом), що містить елемент a, групи G за підгрупою Н називається множина aH = {ah_i, h_iH}. Елемент aG називається представником класу суміжності aH.

Аналогічно визначається правий клас суміжності.

Клас суміжності за підгрупою Н, який містить елемент , позначають . Зрозуміло, що один і той же клас суміжності за підгрупою Н можна і отримати, і позначити різними способами.

Теорема 1.21 (властивості класів суміжності): нехай Н – підгрупа групи G. Тоді справедливі наступні твердження.

1. Клас суміжності aH складається рівно з |H| елементів, тобто кількість елементів кожного класу суміжності за групою Н однакова і |aH|= |H|. (Для нескінченого класу суміжності ми говоримо, що множини H і aH рівнопотужні).

2. , тобто два класи суміжності за підгрупою співпадають тоді й тільки тоді, коли ліва різниця їх представників належить цій підгрупі.

3. або , або , тобто два класи суміжності за підгрупою або співпадають, або не перетинаються.

Доведення. 1. Достатньо довести, що відображення H аH, задане за правилом Hh аhаH, є взаємно-однозначним. Воно є сюр’єктивним за побудовою. Доведемо ін’єктивність (від супротивного). Нехай для деяких елементів h₁  h₂ підгрупи Н виконується ah₁ = ah₂. Домножимо рівність зліва на а^–1 і отримаємо h₁ = h₂, що призводить до суперечності. Першу властивість доведено.

2. Нехай . Тоді , звідки .

Нехай тепер . Тоді і : , так як , тобто . Аналогічно доводиться, що , звідки . Другу властивість доведено.

3. Нехай . Тоді , тобто . Але тоді , та, за властивістю 2, . Третю властивість доведено.

Наслідок 1.22: або b^–1aÎH; або aH bH = .

Наведемо ще одну властивість класів суміжності.

Твердження 1.23: нехай Н – підгрупа групи G. Тоді для будь-яких m₁,m₂ÎG справедливо твердження: m₁, m₂ÎaH для деякого aÎG (тобто обидва елементи належать одному класу суміжності за підгрупою Н) тоді і тільки тоді, коли m₂^–1m₁ÎH.

Доведення: нехай m₁, m₂ÎaH для деякого aΠG. Це означає, що m₁ = ah₁, m₂ = ah₂ для деяких h₁, h₂ΠH. Тоді m₂^–1m₁ = h₂^–1a^–1ah₁ = h₂^–1h₁ΠН, за теоремою 2 (властивістю 2).

Нехай m₂^–1m₁ÎH. Тоді m₁ = m₂h для деякого hÎH. Нехай m₂ÎаH, тобто m₂ = ah₁ для деякого h₁ÎH. Тоді m₁ = ah₁hÎаH, оскільки h₁hÎH, внаслідок замкненості підгрупи Н відносно операції. Твердження доведено.

Означення 1.24: якщо Н – підгрупа групи G і кількість (різних) лівих суміжних класів групи G за підгрупою H скінченна, то індексом підгрупи H у групі G називається кількість різних суміжних класів групи G за підгрупою H. Індекс підгрупи H у групі G позначається (G: H). Якщо кількість (різних) лівих суміжних класів G по H нескінченна, то (G: H)  = .

Якщо G – скінченна, то індекс групи G за будь-якою підгрупою теж скінченний. В противному випадку індекс групи може бути і скінченною, і нескінченною величиною. Наприклад: (Z: <n>) = n, оскільки різні суміжні класи Z по <п> – це класи <n> + 0, <n> + 1, …, <n> + (n – 1); при цьому |Z| = , |<n>| = .

Теорема 1.25 (теорема Лагранжа): нехай G – скінченна група. Тоді

|G| = (G: H)·|H|. (1.3)

Доведення: нехай (G: H) = k. З теореми 1.21 (властивість 3) випливає, що групу G можна подати у вигляді об’єднання різних лівих класів суміжності за підгрупою Н: для деяких , , причому . Кожен з класів суміжності (властивість 1) містить |H| елементів. Отже, |G| = k·|H|, і теорему доведено.

Наслідок 1.26: порядок будь-якої підгрупи Н групи G ділить порядок групи G.

Доведення випливає безпосередньо з формули (1.3).

Наслідок 1.27: порядок елемента скінченої групи ділить порядок групи.

Доведення: 1) Спочатку доведемо, що порядок елемента скінченної групи є скінченним. Нехай – група, , . Розгянемо множину . Всі елементи даної множини є елементами ; оскільки їх , то серед них є однакові: , звідки , отже, .

2) Нехай . Розглянемо підгрупу . Легко довести, що , і за наслідком 1 , отже, .

Наслідок 1.28: нехай . Тоді .

Доведення випливає з наслідку 1.27 та з означення порядку елемента.