1.4. Застосування

Теорія хаосу застосовується в багатьох наукових дисциплінах: математика, біологія, інформатика, економіка, інженерія, фінанси, філософія, фізика, політика, психологія та робототехніка. У лабораторії хаотична поведінка можна спостерігати в різних системах, наприклад електричні схеми, лазери, хімічні реакції, динаміка рідин і магнітно-механічних пристроїв. У природі хаотична поведінка спостерігається в русі супутників сонячної системи, еволюції магнітного поля астрономічних тіл, прирості населення в екології, динаміці потенціалів в нейронах і молекулярних коливаннях. Є сумніви про існування динаміки хаосу в тектоніці плит і в економіці.

Одне з найбільш успішних застосувань теорії хаосу було в екології, коли динамічні системи схожі на модель Рікера використовувалися, щоб показати залежність приросту населення від його щільності. В даний час теорія хаосу також застосовується в медицині при вивченні епілепсії для пророкувань нападів, враховуючи первісний стан організму. Схожа область фізики, названа квантовою теорією хаосу, досліджує зв'язок між хаосом і квантовою механікою. Нещодавно з'явилася нова область, названа хаосом відносності, щоб описати системи, які розвиваються за законами загальної теорії відносності.

1.5. Атрактори

Аттрактор (англ. attract - залучати, притягати) - безліч станів (точніше - точок фазового простору) динамічної системи, до якого вона прагне з плином часу. Найбільш простими варіантами аттрактора є притягає нерухома точка (наприклад, в задачі про маятнику з тертям) і періодична траєкторія (приклад - самозбудні коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), проте бувають і значно складніші приклади. Деякі динамічні системи є хаотичними завжди, але в більшості випадків хаотична поведінка спостерігається тільки в тих випадках, коли параметри динамічної системи належать до деякого спеціальному підпростір.

Найбільш цікаві випадки хаотичного поведінки, коли великий набір первинних умов призводить до зміни на орбітах аттрактора. Простий спосіб продемонструвати хаотичний аттрактор - це почати з точки в районі тяжіння аттрактора і потім скласти графік його подальшої орбіти. Через стан топологічної транзитивності, це схоже на відображення картини повного кінцевого аттрактора. Наприклад, у системі описує маятник - простір двовимірне і складається з даних про стан і швидкості. Можна скласти графік положень маятника і його швидкості. Положення маятника в спокої буде точкою, а один період коливань буде виглядати на графіку як проста замкнута крива. Графік у формі замкнутої кривої називають орбітою. Маятник має нескінченну кількість таких орбіт, формуючи по увазі сукупність вкладених еліпсів.

Розділ 2 розробка програми для розвязування системи чуа методом ейлера

2.1. Атрактор Чуа

За твердженням автора схеми, професора Леона Чуа, широко відома тепер схема Чуа була винайдена в 1983 р. після невдалого експерименту з електронною моделлю системи Лоренца. Автору схеми прийшла в голову думка, що оскільки основний механізм, що призводить до появи хаосу в системах Лоренца і Ресслера - це наявність більш ніж одного нестійкого положення рівноваги (три для Лоренца і два для Ресслера), то можна придумати більш просту систему, що володіє цими властивостями.

У результаті вийшла схема, зображена на рис.1 - це простий коливальний ланцюг, що демонструє ряд біфуркацій і перехід до хаосу. Вона містить три лінійних реактивних елемента (котушка індуктивності і два конденсатори), один лінійний резистор R і один нелінійний резистор NR. Рівняння ланцюга має вигляд:

(2.1)

де G=1/R a – це відрізкові-лінійна функція, визначена як

(2.2)

Це відповідно представлено на графіку на рис.2; нахили внутрішнього і зовнішнього участків є і відповідно; позначають точки перегину. Опір резистора , названого діодом Чуа, нелінійним чином залежить від напрямку на його виходах.

Рис (2.2)

За допомогою комп’ютерного моделювання було показано що атрактор типа “double scroll” з’являється в ланцюгу Чуа при таких параметрах:

В таких і більш ранніх прикладах моделювання одиниці виміру не приводились (не були необхідні) для змінних станів , і , оскільки Мацумото просто моделював набір диференціальних рівнянь. Якщо ми перепишемо рівнянн в одиницях СІ, то напруга буде вимірятися в вольтах, сили струму в амперах, ємність в фарадах,індуктивність в генрі, опір в омах; величина обернена опору і називається провідністю, вимірюється в сименсах (См).

Оскільки в електричних колах легше реалізувати сили струму порядку міліамперу, ніж амперу, то першим кроком являється зменшення всіх сил струму в 1000 разів, що призведе до зменшення всіх ємкостей в 1000 разів і збільшенню опорів та індуктивностей в стільки ж разів. Таким чином, при , вимірюваних в вольтах і , в міліамперах набір параметрів Мацумото приймає вигляд:

C₁ =1/9∙10^–3 Ф

C₂ =1∙10^–3 Ф

L =1/7∙10³ Гн

G =0.7∙10^–3 См

Нахили кусково-лінійної характеристики резистора тепер будуть –0.8 мСм (мА/В) і –0.5 мСм; точки перегину залишаються незмінними при B_p =1В.

Простіше використовувати ємності в нанофарадах і індуктивності в міллігенрі, ніж Фаради і Генрі. Ефект перемасштабування часу в (1) в k раз проявляється в множенні кожної індуктивності та ємності на той же множник k; на величини резисторів зміна масштабу часу не впливає. Зокрема, уповільнення часу в 2∙10⁴ разів зменшує C₁, C₂ і L в стільки ж разів. Змінені параметри приймають такий вигляд:

C₁ =1/18∙10^–7 Ф = 5.56 нФ

C₂ =1.2∙10^–7 Ф = 50 нФ

L =1/14∙10^–1 Гн = 7.14 мГн

G =0.7∙10^–3 См = 0.7мСм (що відповідає R=1428 Ом).

При перемасштабуванні часу точки зламу і нахилу кусково-лінійного резистора N_R не змінюються. Виберемо номінали реальних елементів рівними 18 мГн, 10 нФ, 100 нФ і 1800 Ом, близьких до розрахункових. Провівши масштабування струму і часу, ми конструюємо діод Чуа: нелінійний резистор з вольт-амперною характеристикою, що на рис. 2. Його важливою властивістю є те, що він володіє двома негативними нахилами m0 і m1. Далі опишемо методику конструювання діода Чуа з використуванням операційних підсилювачів.