Частина іі - середня школа

Провідними питаннями при вивченні курсу математики в п’ятому класі є:

• набути стійких і високо технічних навичок дій над десятковими дробами та додаванням і відніманням звичайних дробів з однаковими знаменниками;

• навчити учня розумінню того, що таке частина (відсоток) від числа, навчивши розв’язанню задач на дроби і відсотки через одну частину (один відсоток).

Виходячи з вище сказаного завдання для учнів 6-их класів у вересні 2012-2013 1.Обчислити.

1. 7 − 3,56;

2. 5:1,6;

3. ;

4. 0,05·0,2;

5. 0,6³;

6. 0,77:11.

1. Знайти від 76 кг.

2. Розв’язати рівняння: 8 · х = 17.

4. При сушінні яблука втрачають 85% своєї маси. Скільки треба взяти свіжих яблук, щоб отримати 30 кг сушених?

5. З пункту А в пункт В, відстань між якими 17 км, виїхав велосипедист. Через 5 хвилин на зустріч йому з пункту В виїхав другий велосипедист. Яка відстань буде між ними через 7 хвилини після початку руху другого, якщо перший їхав зі швидкістю 12000 м за годину, а другий – 21000 м за годину?

На діаграмі 1. можна бачити результати виконання вправ, які пропонувалися шестикласникам впродовж чотирьох років.

Вправа на обчислення у 2009-2010 навчальному році містила 10 прикладів. У наступних роках їх кількість була зменшена до шести. Ставилася задача перевірити рівень обчислювальних навичок у діях з десятковими дробами та звичайними дробами з однаковими знаменниками. Хочеться зауважити, що навичка віднімання мішаних чисел, у тому числі і з «позичанням одинички у зменшуваному», має бути відпрацьованою саме у 5-му класі. Досвід показує, що при відробітку її у шостому класі, коли відпрацьовується алгоритм додавання дробів із різними знаменниками, призводить до значних ускладнень у засвоєнні цього алгоритму, відбувається «накладання» одного матеріалу на інший, що призводить до гальмування.

Наступна вправа результати виконання якої відображені на діаграмі, − це найпростіша задача на дроби або відсотки (знайдіть від 76 т; знайдіть число 125% якого, дорівнює 25 кг тощо).У 2009-2010 навчальному році контрольна робота цієї вправи не містила.

Задача на відсотки містилася у контрольних роботах у 2009-2010 та у 2012-2013 навчальних роках. Рівень складності цього завдання не змінювався, отже, його можна оцінити подивившись задачу №4 у контрольній роботі за 2012-2013 навчальний рік.

Задача №5, аналогічні задачі пропонувалися дітям у 2009-2010 та у 2010-2011 навчальних роках, була не обов’язковою для розв’язання. Задача включена в контрольну роботу для виявлення кількості учнів, які навчилися розв’язувати задачі.

Результати виконання цієї роботи можна бачити на діаграмі 3. На цій діаграмі зазначена кількість учнів, які повністю і правильно виконали завдання (розв’язали 6 прикладів із 6, записали розв’язання задачі і отримали відповідь тощо).

Дії над десятковими дробами

Найпростіша задача на дроби

Задача на відсотки

Ускладнена задача на рух

6кл.– 69уч.

6кл.– 66уч.

6кл.– 72уч.

6кл.– 68уч.

Діаграма 3.

По кожному класу окремо наведені вище результати можна бачити на діаграмі 4. Різні кольори в таблиці на якій вказано клас, кількість учнів, що виконували роботу – це різні вчителі, окремий учитель – окремий колір.

6А - 29уч.

6А– 21уч.

6А– 23уч.

6А-15уч.

6АН - 22уч.

6АН– 24уч.

6Б– 26уч.

6Б -30уч.

6Б - 18уч.

6Г– 21уч.

6В– 23уч.

6В -23уч.

Діаграма 4.

Зауважимо, що в 2011-2012 н.р. у 5-Б класі математики було 7 годин, у той час як в інших 5-х класах – 4 години на тиждень.

Чи можна стверджувати що кількість годин є визначальним показником для отримання більш високих показників у навчанні? Відповідь на поставлене питання частково міститься у результатах показаних учнями 6-В класу (2012-2013 н.р.). Цей клас поступився тільки 6-Б (2011-2012 н.р.) в обчислювальних навичках і 6-А (2009-2010 н.р.) у розв’язуванні задачі на відсотки.

Для розуміння різниці в навчальних досягненнях варто подивитись на результати показані цими класами по закінченню молодшої школи − діаграма 5.

Дії над натуральними числами

Рівняння на знаходження невідомої компоненти дії

Текстова задача

Ускладнена задача на рух

5А - 27уч.

5АН - 22уч.

5А - 25уч.

5А-23уч.

5АН - 22уч.

5Б - 28уч.

5Б - 24уч.

5Б-24уч.

5Г - 22уч.

5А - 28уч.

5В - 29уч.

5В-27уч.

Діаграма 5.

На діаграмі виділена кількість учнів, які правильно розв'язали текстову задачу (нагадаємо що це завдання залишалося незмінним протягом 4-х років). Отже, якщо кількість годин відведених на вивчення предмету і є чинником який впливає на результати навчальних досягнень, то він не єдиний – є ще, які?

Одним з наступних є абсолютно непрофесійно побудовані календарні плани.

Для розуміння цієї проблеми уявіть собі людину, яка по закінченню водійських курсів ще не мала машини. На час закінчення курсів потенційний водій може сам завести машину, може сам рушити з місця і може сам зупинитися. Є ще проблеми з початком руху на світлофорі, коли зелений вже горить , тобі сигналять, а ти ще на місті; рушити з місця в гору; контролювати всіх учасників руху, але вже може САМ. Проходить деякий час, нехай місяць, і машина у людини з’являється. Як почуватиметься ця людина за кермом? − Вчитися доводиться з початку. У цієї людини тільки-но сформувалося уміння (умінням називають засвоєний людиною спосіб використовування знань на практиці [7])керування автомобілем. Навичок ще немає.

Кожна нова тема – це нові курси. Закінчили водійські курси – пішли на курси крою і шиття, закінчили курси крою і шиття – пішли на курси дайвінгу, закінчили курси дайвінгу – пішли на курси машинопису, і так протягом року. А якщо паралельно відвідувати декілька курсів? Рік відходили на курси і що ми вміємо? Якщо по закінченні водійських курсів ми не сіли за кермо, по закінченні курсів крою і шиття ми не почали шити, по закінченні курсів з дайвінгу ми не почали пірнати, по закінченні курсів машинопису ми не почали друкувати, то ми нічого не вміємо. Ми тільки маємо уяву про водіння автомобіля, про шиття, про дайвінг, про друкування на машинці. Звідки взятись навичкам (нагадаємо, що навичками називають таку діяльність, у складі якої окремі операції є автоматизованими у результаті виконання тренувальних вправ [7])?

Сама діяльність завжди виконується свідомо. Але окремі операції, що входять до її складу, у результаті тренувань стають автоматизованими. Свідомість у цьому випадку не відключається повністю, але спрямована не на техніку виконання операцій, а на загальне керівництво діяльністю, осмислення її задач, на пошуки найкращих шляхів розв’язування цих задач. Повністю зосередитися на змісті книги можна лише тоді, коли автоматизованим є процес читання. Поринути у єство музичного твору музикант-виконавець може лише тоді, коли будуть автоматизовані як процес читання нот, так і сама техніка гри. Якби талановитий піаніст під час виконання музичного твору несподівано зосередиться на думці, якими пальцями, і які клавіші він має натискати, гра його на цьому і скінчилась би.[7]

Тепер поглянемо на рекомендоване (переважна більшість вчителів загальноосвітніх шкіл користується саме таким) календарне планування з математики у п’ятому класі:

ПОВТОРЕННЯ ЗА ПОЧАТКОВУ ШКОЛУ (4 години);

Розділ 1.(І семестр)

1.1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ (15 годин)

1.2 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ (10 годин);

1.3 РІВНЯННЯ. КУТИ. ТРИКУТНИКИ (15 годин);

1.4 МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ (11 годин);

1.5 ПЛОЩІ І ОБ’ЄМИ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР (9 годин);

Розділ 2.(ІІ семестр)

2.1 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ (15 годин);

2.2 ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ (15 годин);

2.3 МНОЖЕННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ (8 годин);

2.4 ДІЛЕННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ. ДІЇ З ДЕСЯТКОВИМИ ДРОБАМИ. СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ (12 годин);

2.5 ВІДСОТКИ. МАСШТАБ (14 годин);

Розділ 3.

ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ (12 годин);

На перший погляд такий план здається придатним до використання, але звернімо увагу на таке:

Перший семестр – це дії над натуральними числами і геометричний матеріал, переважна кількість цього матеріалу відома з курсу математики молодшої школи.

Другий семестр – додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками, дії над десятковими дробами, відсотки і задачі на відсотки – це новий матеріал. Причому знайомство з відсотками і задачами на відсотки припадає на кінець квітня – початок травня, то б то на прихід тепла. Вчителі, які працюють в школі не перший рік знають: прийшло тепло – прощавай розум. Коефіцієнт корисної дії, особливо при вивченні нового матеріалу, падає до нуля.

Тепер розглянемо один із пунктів більш детально.

Тема: Звичайні дроби.

Задамося питанням: яких навичок повинна набути дитина при вивченні цієї теми?

Кожна(!) дитина повинна:

І. чітко розуміти що таке звичайний дріб;

ІІ. чітко розуміти на що вказує чисельник, і на що вказує знаменник звичайного дробу (це саме те без чого задачі на дроби, а пізніше і відсотки, перетворяться для неї на жах);

ІІІ. швидко і правильно перетворювати неправильний дріб у мішане число і навпаки;

ІV. швидко і правильно додавати і віднімати звичайні дроби з однаковими знаменниками;

V. швидко і правильно додавати і віднімати мішані числа «позичаючи» одиничку в цілій частині зменшуваного, в разі потреби, при відніманні;

VІ. швидко і правильно розв’язувати найпростіші задачі на дроби «через одну частину».

Тепер дивимось календарне планування − 15 годин (середина січня – середина лютого), часу здається вистачає, причому тема не нова – знайомство із звичайними дробами відбулося в молодшій школі.

Дивимось по годинах:

Дробові числа. Дріб як частина цілого. Чисельник і знаменник дробу – 1 година.

Дріб як форма запису частки від ділення двох натуральних чисел – 1 година.

Запис натурального числа у вигляді звичайного дробу – 1 година.

Правильні і неправильні дроби. Дробові числа – 1 година.

Виділення цілої частини з неправильного дробу – 1 година.

Порівняння дробів – 1 година.

Перетворення дробових чисел у неправильний дріб – 1 година.

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками – 2 години.

Додавання і віднімання дробових чисел – 1 година.

Розв’язування задач на знаходження дробу від числа – 1 година.

Розв’язування задач на знаходження числа за величиною його дробу – 1 година.

Розв’язування задач на додавання і віднімання дробових чисел – 2 години.

Контрольна робота – 1 година.

Подивившись розуміємо – є проблема і не одна. Як в зазначений термін набути усіх перелічених навичок? Як за 2 уроки навчити дитину розв’язувати задачі на дроби (хоча б найпростіші, то б то за алгоритмам)? Наступні дві години відводяться на розв’язування задач «на додавання і віднімання дробових чисел». Якщо діяти за наведеним планом то ніяк.

Розглянемо альтернативне подання того ж матеріалу.

Тема: Звичайні дроби.

По годинах:

Дробові числа. Дріб як частина цілого. Чисельник і знаменник дробу. Дріб як форма запису частки від ділення двох натуральних чисел. Запис натурального числа у вигляді звичайного дробу. Правильні і неправильні дроби – 1 година.

Дробові числа. Виділення цілої частини з неправильного дробу. Перетворення дробових чисел у неправильний дріб – 1 година.

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Додавання і віднімання дробових чисел – 1 година.

Порівняння дробів. Розв’язування задач на знаходження дробу від числа – 1 година.

Розв’язування задач на знаходження числа за величиною його дробу – 1 година.

Розв’язування задач на додавання і віднімання дробових чисел – 1 години.

Розв’язування задач на дроби – 8 годин.

Контрольна робота – 1 година.

Що змінилося?

І. Новий матеріал подається блоком (у найкоротший можливий термін);

ІІ. З’явився час на відпрацювання навичок.

Починаючи з четвертого кожний урок починається тренінгом на відпрацювання обчислювальних навичок, запам’ятовування і розуміння усього що стосується звичайного дробу включаючи задачі.

Для такого тренінгу необхідними є масиви вправ у яких обчислення не обтяжені виконанням дій у стовпчик. Задача – відпрацювати алгоритм і набути навичок. Нажаль сьогодні методичне забезпечення такими вправами навряд чи можна назвати задовільним (у своїй роботі використовую «Усні тренувальні вправи 5-6» [6], яка створювалася саме для таких цілей і відбірку задач, яка була складена для відпрацювання навичок розв’язування задач на дроби, дивитись вправи: «Методичне забезпечення курсу математики у 5-6 класах» розроблене автором).

Така подача програмного матеріалу дозволяє, для відпрацювання навичок, залучити такі властивості пам’яті:

закону осмислення: те, що розумієш, краще запам'ятовується;

закону дії: інформація, що бере участь у діяльності (тобто, якщо відбувається застосування знань на практиці) запам'ятовується краще;

закону повторення: краще запам'ятовується інформація, яка повторюється кілька разів.

Доцільно календарне планування на рік і будувати таким чином, щоб на вивчення стратегічно важливого матеріалу виділялось більшу часу. Одним з можливих варіантів може бути наприклад таким:

Розділ 1.(І семестр, 64 години, 4 години на тиждень)

1.1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. РІВНЯННЯ (24 годин);

1.2 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ (34 годин).

1.3 ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ. КУТИ. ТРИКУТНИКИ. (16 годин).

Розділ 2.(ІІ семестр, 76 годин, 4 години на тиждень)

2.1 ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ. МНОЖЕННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ. ДІЛЕННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ. ДІЇ З ДЕСЯТКОВИМИ ДРОБАМИ (20 годин);

2.2 СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ. ВІДСОТКИ. МАСШТАБ (26 годин);

2.3 ПЛОЩІ І ОБ’ЄМИ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР (18 годин);

Розділ 3.

ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ (12 годин).

Така побудова курсу дозволить в рамках діючих програм розпочати вивчення таких стратегічних тем, як десяткові дроби і відсотки до початку приходу тепла (нагадаємо, що за планами рекомендованими сьогодні вивчення такої теми як відсотки у 5-му класі, розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь у 6-му, припадають на кінець навчального року, тобто на прихід тепліні).

Наступним кроком у вирішенні питання недостатньої сформованості базових навичок, у першу чергу обчислювальних (для 5-6-го класів) і навичок розв’язування базових текстових задач (задач на відношення «більше на», «менше на», «більше у», «менше у», задач на рух, найпростіших задач на дроби і відсотки), може стати така побудова вивчення курсу математики, при якій дії над числами і не складні текстові задачі стають невід’ємною складовою кожного уроку, кожного домашнього завдання і кожної письмової роботи, у тому числі і контрольної. Причому при оцінюванні письмових робіт правильне виконання цих завдань мають приносити учню, на мою думку, не менше 5-7 балів при вивченні будь якої теми, дії над числами − це база для подальшого навчання математики.

На цьому етапі постає питання наявності вправ виконання яких дозволить при мінімальних затратах часу, на їх здійснення, отримати максимально можливий результат у перетворенні умінь на навички.

Під час роботи у 5-6-х класах, для вирішення цього питання, мною були створені масиви вправ, розбиті на блоки, з яких складалися домашні завдання і які були невід’ємною складовою кожної письмової роботи. Всі масиви включають в себе дві частини: І. відбірки вправ розбитих на блоки; ІІ. відповіді (або повні розв’язання) до кожної вправи блоку.

І. масиви вправ для відпрацювання обчислювальних навичок:

а) дії над натуральними числами(198 прикладів з відповідями до них);

Приклад блоку із зразками розв’язування і відповідями:

1. 5701―359;

2. 2т 3ц 8кг―45кг;

3. 34300;

4. 475·24;

5. 25·72·80;

6. 59244―49·244;

7. 72∙6;

8. 192:8;

9. 64000:1600;

10. 2754:27;

11. 13².

Варто запам’ятати:20∙5=100; 25∙4=100; 125∙8=1000.