Теоретические сведения

Порядок выполнения метрологической оценки результата косвенного измерения

Целью любых измерений является получение результата измерения, то есть значения физической величины, найденного путем ее измерения. Однако, на практике не удается получить значение физической величины, которое бы идеальным образом отражало ее истинное значение. В связи с этим возникает проблема определения того, насколько результат измерения отклоняется от истинного значения измеряемой величины, то есть проблема определения погрешности измерения. На важность задачи метрологической оценки результатов измерений указывает тот факт, что этот вопрос выделен в специальный раздел метрологии.

Рассмотрим особенности выполнения метрологической оценки результата косвенного измерения. При этом определяются следующие погрешности.

Средняя арифметическая погрешность единичного измерения в ряду измерений – определяется как среднее арифметическое значение из абсолютных значений i-ых погрешностей, присущих ряду измерений и вычисляется по формуле:

n

_∑ X _i X

_{r }i 1

n

, (1)

где

X _i – результат i-го измерения, входящего в ряд измерений;

X – среднее арифметическое из n значений величины;

| X _i

- X | – абсолютное значение погрешности i-го измерения;

i – номер измерения;

n – число измерений.

Она дает обобщенную характеристику погрешности каждого измерения, входящего в ряд.

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения в ряду из n измерений – это обобщенная характеристика рассеяния результатов, полученных в ряду независимых измерений одной и той же величины, вследствие влияния случайных погрешностей. Вычисляется по формуле:

n

_∑( X _i

_{S } i1

• X )²

. (2)

n 1

При достаточно большом числе измерений (n > 30) между средней арифметической r и средней квадратической S погрешностями существует соотношение:

S 1,25 r . (3)

Преимуществом средней арифметической погрешности r является простота ее вычисления. Все же в большинстве случаев чаще применяется средняя квадратическая погрешность S, так как она является эффективной оценкой дисперсии.

Средняя квадратическая погрешность равна квадратному корню из дисперсии. Дисперсия характеризует рассеяние отдельных значений случайной величины. Чем меньше средняя квадратическая погрешность, тем меньше рассеяние и выше качество измерений.

В нормативно-технических документах в области метрологии при- меняют термин «среднее квадратическое отклонение», тогда как в технической литературе, связанной с обработкой результатов измерений, используется термин «средняя квадратическая погрешность».

В практике измерений необходимо всегда помнить о том, что случайные погрешности равновероятны по знаку, потому в оценке

результатов измерений целесообразно ставить знак « » перед числовым значением погрешностей.

Погрешность определения средней квадратической погрешности

– оценивается на практике при ограниченном числе измерений. В этом случае для нормального закона распределения применяется формула:

S 

S

2 (n 1)

. (4)

Средняя квадратическая погрешность результата измерения

вычисляется по формуле:

S _x 

^S . (5)

n

Средняя квадратическая погрешность результата измерения в n раз меньше средней квадратической погрешности единичного измерения.

Также эта погрешность в литературе известна как «оценка среднего квадратического отклонения». Дело в том, что на практике обычно используют не математическое ожидание (величину, относительно которой рассеиваются погрешности отдельных измерений) и дисперсию (характеризует рассеивание результатов отдельных измерений), а их оценки, так как невозможно провести неограниченное число измерений. Они являются случайными числовыми характеристиками измеряемой величины. Так, среднее арифметическое является оценкой измеряемой величины.

Средняя квадратическая погрешность результата косвенных измерений – величина, являющаяся функцией нескольких переменных:

dF	)2 S 2 1	( dF	)2 S 2  2	... ( dF	)2
dy1		dy2		dyn

X f(y_1, y₂ ... y_n ) , вычисляется по формуле:

2

S_к  (

S _n , (6)

где

^S1 ^{, S} 2 ^{,... S} n

– средние квадратические погрешности результатов

измерений величин y₁, у₂ , ... у_{n .}

В инженерной практике точность измерений обычно выражается интервалом, в котором с установленной вероятностью (доверительной вероятностью P ) находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительный интервал погрешности результата измерений –

это интервал

( X _∑

; X _∑

) , в который попадает измеряемая

величина X с заданной вероятностью P . Ясно, что чем больше доверительный интервал, тем с большей вероятностью в него попадает значение измеряемой величины. Обычно доверительные интервалы строят, основываясь на распределении Стьюдента. При этом

_∑ t_S S_к , где t_S

- коэффициент Стьюдента, который зависит от

принятой доверительной вероятности (обычно 0,95) и числа измерений. Он используется на практике для определения доверительных

интервалов при малом числе измерений

( 3 n 20 ). В таблице 1.2

n	Доверительная вероятность
	0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
2	6,31	12,71	31,82	63,68	636,62
3	2,92	4,30	6,97	9,93	31,60
4	2,35	3,18	4,54	5,84	2,92
5	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
6	2,02	2,57	3,37	4,06	6,87
7	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
8	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
9	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
10	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
11	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
12	1,80	2,20	2,72	3,11	4,44
13	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
14	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22
15	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
16	1,75	2,13	2,60	2,95	4,07
17	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
18	1,74	2,11	2,57	2,90	3,97
19	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92
20	1,73	2,09	2,54	2,86	3,88
∞	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

представлены значения коэффициента Стьюдента. Таблица 1.2 – Значения распределения Стьюдента

Правила округления результатов измерений и вычислений

Результат любого точного измерения всегда выражается двумя числами: числовым значением измеряемой величины и параметром точности – результатом определения погрешности. Например, запись

результата измерения активного сопротивления

R 40,78 0,01 Ом.

Обычно погрешность выражают не более двумя значащими цифрами.

Округление результата должно производиться в полном соответствии с погрешностями (параметрами точности) результата. Числовое значение результата непременно должно оканчиваться десятичным знаком того же разряда, что и погрешность.

При округлении следует руководствоваться следующими правилами:

• лишние значащие цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются;

• если цифра старшего (который левее) из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяются;

• если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на 1;

• если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают на 1, если она нечетная.

Примеры результатов измерений до и после округления:

- до округления Х₁ = 1001,77 ± 0,033,

после округления Х₁ = 1001,770 ± 0,033; или 1001,77 ± 0,03;

- до округления Х₂ = 237,465 ± 0,127,

после округления Х₂ = 237,46 ± 0,13;

• до округления Х₃ = 123357 ± 678,

после округления Х₃ = 123400 ± 700.