2. Метрика в пространстве

Мы будем рассматривать так называемые регионализованные данные, а именно измерения, обладающие координатной привязкой. Координатная привязка может быть:

• пространственной, определяющей географическое положение измере­ния (географические координаты) в пространстве или его относитель­ное положение по отношению к другим объектам (специальная коорди­натная система для определенной местности);

• временной, определяющей время проведения измерения (абсолютное или относительное);

• пространственно-временной, т. е. и пространственной, и временной одновременно.

Основное требование к координатной системе — ее метричность, т. е. ко­ординаты должны сопровождаться метрикой, возможностью вычислять расстояния между точками. Для простоты будем предполагать, что мы работаем в двумерном евкли­довом пространстве R², где метрика такова, что расстояние между точками пространства Х₁ = (х₁у₁) и Х₂ = (х₂,у₂) определяется евклидовой нормой:

||(х₁,у₁)(х₂,у₂)|| = √(х₁- х₂)² + (у₁ - у₂) ²

Различие масштабов связано с измерениями: например, если рассматри­вать распространение загрязнения в почве, то горизонтальные простран­ственные области распространяются на десятки километров (10⁴ -10⁵ м), в то время как рассматриваемая глубина при анализе почвы не превышает 0.3 м, а геологические слои могут иметь толщину от нескольких сантиметров до сотен метров. При работе с такими различными масштабами обычно про­изводится нормировка координат - переход к другой системе, где размер­ности соизмеримы, например, линейное преобразование на отрезок (0,1).

Пространственная переменная всегда определена в конкретной области пространства - в геометрическом поле. Пространственную переменную V можно рассматривать как функцию точки пространства х: Z = Z(x). Однако чаще интерес представляют не точечные, а средние значения величины Z(x) в пределах малой области пространства - геометрической базы (support). Например, для такого признака, как содержание чего-либо в грунте, гео­метрической базой является объем пробы. База должна быть определена весьма точно. Необходимо знать ее объем, форму и ориентацию в простран­стве. Если изменяется геометрическая база, то возникает новая простран­ственная переменная, близкая к предыдущей, но не совпадающая с ней:

Теория пространственных переменных, которая называется геостатисти­кой, позволяет предсказывать характеристики переменной Z, связанной с геометрической базой в поле S, по известным характеристикам другой то­чечной переменной V, заданной в поле Х, отличном от поля S. Эта возмож­ность составляет одно из важнейших преимуществ названной теории.

3. Пространственное разрешение

Одним из ключевых свойств пространственно распределенных данных яв­ляется их пространственное разрешение. При исследовании того или иного пространственного явления очень важно, чтобы имеющиеся данные могли адекватно отразить его. Обычно под пространственным разрешением пони­мается наименьший размер особенности, которую могут отражать данные и пространственные оценки.

Разрешение интерполяционной пространственной оценки на регулярной сетке характеризуется размером ячейки. Если сетка оценивания нерегулярная, то ее разрешение можно охарактеризовать распределением рас­стояний между узлами сетки (см. ниже). Эффект разрешения сетки оценивания может быть значительным, особен­но при решении динамических задач с граничными условиями на сетке.

Опора (support) данных измерений является одним из основных свойств при анализе пространственно распределенных данных. Опору не следует путать с пространственным разрешением модели (карты интерполяционной оцен­ки). Опора характеризуется процессом измерения и обработки данных, а не моделирования. Под опорой измерения понимается физический объем, подвергнутый измерению. Например, при измерении радиоактивности об­разца опора измерения характеризуется размером пробы. Однако не всегда удается однозначно оценить опорный размер: так, при аэрогаммасъемке за­грязненных территорий опорный размер может варьироваться от десятков до сотен метров.

Определение опорного размера данных измерений, использующихся в мо­делях пространственного оценивания, чрезвычайно важно для адекватного моделирования вариабельности данных. Так, если при интерполировании на сетку с разрешением 1 км используются данные с опорой 10 см, надо понимать, что такие данные обладают вариабельностью на подсеточном масштабе. Другими словами, величина наблюдаемой переменной в ячейке сетки оценивания не может быть однозначно определена на основе данных с опорой более мелкого масштаба.

При моделировании свойств пористости и проницаемости пород в подзем­ных месторождениях размером несколько километров используются данные с различной опорой. Так, пористость и проницаемость, измеренные на осно­ве кернов из скважин, имеют высокую точность и опору порядка нескольких сантиметров. Данные же сейсмического зондирования обладают зашумлен­ностью, и размер их опоры не всегда удается однозначно определить (от еди­ниц до сотен метров). Динамические измерения давления в скважине имеют опору порядка нескольких километров, поскольку отражают поведение сред в связанной пористой системе месторождения. Все это необходимо учитывать при моделировании неопределенности и вариабельности пространственных распределений на основе данных различных типов.

В геостатистике можно учесть изменения размера опоры при блочном кригинге.