11. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсізділіктерінің қажетті және жеткілікті шарттары.

Бағытталған кесінділердің сызықтық өрнегі, сызықтық тәуелділік пен тәуелсіздік ұғымдары кез келген сызықтық кеңістіктің векторлар жүйелеріне тікелей жалпыланады. <X,P> қандай да бір сызықтық кеңістік болсын.

Анықтама1:a₁,a₂,...,a_n€X векторлар жүйесінің сызықтық өренгі деп, α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n түріндегі өрнекті айтамыз.Мұндағы a₁,a₂,...,a_n€P коэффициенттері осы сызықтық өрнектің коэффициенттері деп аталады.Егер P өрісіндегі бір β₁, β ₂,..., β _n коэффициенттері үшін b=β₁a₁, β ₂a₂,..., β _na_n болса, онда b векторы a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі дейміз.

Берілген a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесі арқылы кеңістіктің нөлдік векторы қашан сызықтық өрнектеледі?Міне осы сауал сызықтық алгебрада ең жиі қойылатын сауалдардын бірі. Әрине,барлық коэффициентері нөлге тең болатын α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n өрнек θ-ға тең болады,яғни θ=0*a₁+0*a₂+...,+0*a_n

Бұл жағдайдан өзге жағдай жоқ болса, a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз,ал кері жағдайда сызықтық тәуелді аталады.Нақтылы айтқанда,біз келесі маңызды анықтамаға келдік.

Анықтама2:Егер α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n =θ болуы үшін α₁=α₂=...=α_n=0 шарты қажет болса, a₁,a₂,...,a_n онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.

Анықтама3:Егер θ нөлдік векторын a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесі арқылы ең болмағанда коэффициенттерінің бірі нөлден өзге болатындай етіп,сызықтық өрнектеуге болса: θ=α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n онда a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады.

Демек берілген a₁,a₂,...,a_n векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі не тәуелсіздігін анықтау үшін белгісіздері a₁,a₂,...,a_n болатын α₁a₁+ α₂a₂+...+ α_na_n=θ теңдеуінің нөлдік емес шешімдері бар жоқтығын зерттеуіміз керек.

Мысал1:E_i,j арқылы (i,j) орнында P өрісінің бірлігі,ал қалған орындарында P-ның нөлдігі тұратын mxn матрицасын белгілейік.Онда E_1,1,...,E_1,n,..., E_m,1,..., E_m,n матрицалар жүйесі- сызықтық тәуелсіз.Шынында,егер α_1,1E_1,1+...+ α_1,nE_1,n+...+ α_m,1E_m,1+...+ α_m,nE_m,n=О (1) болса, онда α_1,1E_1,1+...+ α_1,nE_1,n+...+ α_m,1E_m,1+...+ α_m,nE_m,n матрицасының (i,j)орнында P өрісінің a_i,j элементі тұрады,ал (1)-ші теңдіктің оң жағындағы нөлдік O матрицасы түгел өрістің нөлдігінен тұрады.Eндеше,барлық a_i,j коэффициенттері нөлге тең.

12.Векторлар жүйесінің базисі мен рангы.Мысалдар.

Егер а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесінің әрбір векторы b₁,b₂,...,b_m векторлар жүйесі арқылы,

ал b₁,b₂,...,b_m жүйесінің әрбір векторы а₁,а₂,...,а_к векторлары арқылы сызықтық өрнектелетін болса, онда осы екі жүйе эквивалент жүйелер деп аталады. Эквивалент жүйелерді белгілеу үшін біз ~ символын пайдаланамыз: а₁,а₂,...,а_к ~ b₁,b₂,...,b_m. ~ қатынасының рефлексивті симметриялы және транзитивті болуы айқын.

1.1-анықтама: а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесінің:

(1) а_i1,а_i2,...,а_ir сызықтық тәуелсіз,

(2) а_i1,а_i2,...,а_ir ~ а₁,а₂,...,а_к

екі шартты қанағаттандыратын а_i1,а_i2,...,а_ir ішкі жүйесін бастапқы жүйенің базасы деп атаймыз.

1.1-ескерту.База анықтамасындағы (2)-шарт:

(2)' {а₁,а₂,...,а_к}\{ а_i1,а_i2,...,а_ir} жиынына тиісті әрбір вектор а_i1,а_i2,...,а_ir векторлары арқылы сызықты өрнектеледі деген шартқа пара-пар.

Базаның басқа да сипаттамасы бар,оны беру үшін қосымша бір ұғым еңгізуіміз керек.

1.2-анықтама: а_i1,а_i2,...,а_ir векторлар жүйесі а₁,а₂,...,а_к жүйесінің қандай да бір сызықтық тәуелсіз ішкі жүйесі болсын.Егер осы жүйелер бірдей болса,немесе кез келген ішкі жүйеден тыс а_j векторы үшін а_i1,а_i2,...,а_ir, а_j векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болса, онда а_i1,а_i2,...,а_ir векторлар жүйесі а₁,а₂,...,а_к жүйесінің максималь сызықтық тәуелсіз ішкі жүйесі деп аталады.

1.1-тұжырым: а₁,а₂,...,а_к қандай да бір векторлар жүйесі,ал а_i1,а_i2,...,а_ir оның ішкі жүйесі болсын.Онда а_i1,а_i2,...,а_ir жүйесі база болуы үшін ол максималь сызықтық тәуелсіз ішкі жүйе болуы қажетті және жеткілікті.

1.1.-салдар: а₁,а₂,...,а_к жүйесінің сызықтық тәуелсіз ішкі жүйелердің арасында векторлар саны ең үлкен болатын жүйелердің әрқайсысы база болады.

1.2-тұжырым:Егер векторлар жүйесінде бір вектор нөлден озгеше болса,онда бұл жүйенің кем дегенде бір базасы бар.

1.1-теорема:Кез келген а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесінің барлық базалардағы векторлар саны бірдей болады.

Дәлелдеу.Егер а₁,а₂,...,а_к жүйесінің барлық векторлары нөлдік болса,онда бұл жүйенің бірде-бір базасы жоқ.Ендеше базадағы векторлар саны 0-ге тең.

Енді а₁,а₂,...,а_к жүйесіндегі нөлден өзгеше кем дегенде бір вектор бар болсын деп ұйғарамыз.Онда 1.2-тұжырымның дәлелдеуі бойынша,бұл жүйенің кем дегенде бір а_i1,а_i2,...,а_ir базасы бар және басқа базалардағы векторлар саны r-ден аспайды. а_j1,а_j2,...,а_jp қандай да бір базасы болсын.онда осы екі ішкі жүйенің әрқайсысы сызықтық тәуелсіз және олар өзара эквивалент болады.Теорема дәлелденді.

1.2-салдар:Базадағы векторлар саны ең көп векторларды қамтитын сызықтық тәуелсіз ішкі жүйедегі векторлар санына тең.

1.2-анықтама: а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесінің кез келген базасындағы векторлар санын r(а₁,а₂,...,а_к) арқылы белгілейміз де оны а₁,а₂,...,а_к жүйесінің рангы деп атаймыз.

1.3-салдар: а₁,а₂,...,а_к жүйесінің r(а₁,а₂,...,а_к) рангы жүйедегі тәуелсіз векторлардың максимал санына тең.

1.4-салдар:Егер а₁,а₂,...,а_к жүйесінің сызықтық тәуелсіз а_i1,а_i2,...,а_ip ішкі жүйесінің векторлар саны r(а₁,а₂,...,а_к) рангыге тең болса, онда сол ішкі жүйе база болады.

Дәлелдеу. а_i1,а_i2,...,а_ip векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз және p= r(а₁,а₂,...,а_к).

1.3-тұжырым: а₁,а₂,...,а_к кез келген векторлар жүйесі болсын.Егер r(а₁,а₂,...,а_к) =k болса, онда а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болады.Егер r(а₁,а₂,...,а_к)<k болса,онда

а₁,а₂,...,а_к векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болады.

1.4-тұжырым:Эквивалент жүйелердің рангы бірдей болады.