Д руге рівняння Максвелла.

Максвелл встановив, що причиною виникнення е.р.с. в проводяться контурі є соленоідальне електричне поле, яке виникає в просторі і під час відсутності контуру. Е.р.с. не залежить від властивостей матеріалу, але струм пов'язаний з його опором.

Інтеграл по замкненому контуру (рисунок правовинтову систему) не дорівнює нулю. Розглянемо у просторі якийсь контур l, поверхня S, на яку спирається цей контур і одиничну нормаль. Позитивний напрямок обходу пов'язано з напрямком одиничної нормалі правилом правого гвинта. Магнітний потік, що перетинає контур, вважається позитивним чи негативним в залежності від того, збігається він чи ні з напрямком одиничної нормалі. Швидкість зміни магнітного потоку вважається позитивною або негативною в залежності від того, збільшується або зменшується магнітний потік. Запишемо узагальнення для електромагнітної індукції через вектори електромагнітного поля: .

Магнітний потік, що перетинає поверхню S: . Підставляючи ці співвідношення у вираз (1), отримаємо: (2).

Перетворимо ліву частину, використовуючи теорему Стокса:

Оскільки поверхню S і контур L вибрані довільно, то (3).

Вираз (3) є диференціальною формою узагальненого закону електромагнітної індукції, а вираз (2) - його інтегральною формою.

Друге положення Максвелла: Змінне магнітне поле збуджує в просторі соленоідальне електричне поле.

Закон Ома в диференційній формі.

У тілі зі струмом виділимо елементарний циліндр. Циліндр візьмемо досить малим, щоб можна було вважати, що вісь циліндра паралельна лініям струму. У межах торців, які перпендикулярні лініях струму щільність струму розподілена рівномірно з однаковою амплітудою. Для цього циліндра можна записати закон Ома: (1), где (2);

[R] = [Oм], [] = [ ].

Відомо, що вектор напруженості електричного поля паралельний вектору об'ємної щільності електричного струму. При цьому напругу між торцями можна записати наступним чином: (3) і отримаємо: .

Підставляючи (2), (3) в (1) отримаєм: (4) (поділимо на ds).

Враховуючи, що , отримаємо .

— Закон Ома в диференціальній формі.

48. Закон збереження заряду і рівняння нерозривності. Рівняння нерозривності.

У середовищі із струмом виділимо деякий обсяг V, обмежений поверхнею S. В одиницю часу через елементарну площадку проходить заряд , а через всю поверхню S проходить заряд: .

Нехай за час t через поверхню пройшов заряд dq^э, тоді

.

У свою чергу, повний електричний заряд, зосереджений в об'ємі:

, .

У лівій частині останньої рівності переставимо місцями диференціювання за часом і інтегрування за об'ємом, це допустимо тому ми вважаємо, що і її похідні неперервні в кожній точці. Будемо вважати, що функція ^э характеризує розподіл електричного заряду в об'ємі.

У цьому випадку в лівій частині інтегрування та диференціювання можна поміняти місцями: .

У виразі використовується приватна похідна, так як  під інтегралом є функцією не тільки координат, але й часу.

Праву частину перетворимо по функції Остроградського - Гаусса: .

— це інтегральне рівняння для довільного обсягу V. Це можливо, якщо рівні підінтегральні вирази:

— Рівняння нерозривності. (1).

З нього зокрема випливає, що витоками або стоками є електричні заряди. Якщо ми припустимо, що об'ємна щільність електричного заряду в об'ємі незмінна в часі, то похідна за часом буде дорівнює нулю, і ми прийдемо до наступного співвідношенню:

(2).

Поле, яке характеризується незмінними в часі векторними або скалярними величинами називається постійним або стаціонарним. З (2) випливає, що постійні струми не мають витоків і стоків, а їх силові лінії векторного поля є замкнутими.