Решение

1) z . Данная формула имеет смысл, если х и у удовлетворяют неравенству: y–2x³0, или y³ 2x, следовательно D={(x,y)| y³2x }.

Областью определения является верхняя полуплоскость, включая прямую y=2x (рис. 4.5).

Областью значений является промежуток: Е=[0 ,¥).

2) z = . Формула имеет смысл при x+y–1¹0 или x+y¹1.

Следовательно D = {(x,y)| y+x¹1}.

Областью определения являются все точки плоскости (0xy), не лежащие на прямой x+y=1 (рис.4.6).

Областью значений является объединение промежутков: Е=(– ¥,0) (0,+ ¥).

3) z=y+arcsin(x+2). Формула имеет смысл при –¥< у<+¥ и –1£ (х+2) £+1. Следовательно

D= {(x,y)| yÎ(–¥,+¥), |x+2|£1}

Областью определения является бесконечная полоса на плоскости (хоу) с прямыми

х= –3 и х= –1 (рис. 4.7).

Областью значений является промежуток: Е=(–¥,+¥).

4) z=ln(x²+y²–1).

Формула имеет смысл при

х²+у²–1>0, или х²+у²>1.

Следовательно:

D={(x,y)| y²+x²>1}

Областью определения является плоскость (хоу)

с исключенным замкнутым кругом единичного радиуса

х²+у²=1 (рис. 4.8).

Областью значений является промежуток:

Е=(–¥,+¥).

5) z .Формула имеет смысл при

1–х²–у² ³ 0, или х²+у² £ 1.

Функция определена на компакте:

D={(x,y)| y²+x² £ 1} (Рис.4.9).

Областью значений является отрезок: Е=[0,1].

Графики функций двух переменных представляют собой поверхности, определяемые уравнением z=f(x,y). Их эскизное построение часто является непростой задачей (примеры 1–5).

Существует еще один способ изображения функции двух переменных – с помощью линий уровня.

Линии уровня. Линией уровня (изолинией)поверхности z= f(x,y) называется проекция на плоскость 0xy сечения этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости 0xy.

Иными словами, линией уровня функции z= f(x,y) называется геометрическое место точек поверхности W, в которых функция принимает одно и то же значение С.

Совокупность линий уровня определяет характер изменения функции. В частности, если изменять С с постоянным шагом h, то там, где функция z изменяется быстрее, изолинии гуще, а где z изменяется медленнее, изолинии реже.

Выбирая h достаточно малым, можно по линиям уровня получить представление о характере поведения функции.

Этот способ применяется в топографии при составлении топографических карт для изображения рельефа местности, в теплофизике при исследовании тепловых процессов изображают изолинии температур – изотермы, в механике сплошных сред при изучении, например, напряженно-деформированного состояния нагруженной конструкции строят изолинии главных (наибольших и наименьших) напряжений и деформаций и т. д.

Н а рис. 4.10 показан график функции z (полусфера) и три её изолинии:

– сечение полусферы плоскостью z=0 даст окружность радиуса 1;

– сечение полусферы плоскостью z=0,5 даст окружность радиуса 0,866:

; ;

– сечение плоскостью z=1 даст вырожденную изолинию –точку.

Определение. ( Функция трех переменных )

Переменная u называется функцией трех переменных (х,у,z), если каждой упорядоченной тройке чисел (х,у,z)Î D по определенному закону ставится в соответствие число u: u=f(x,y,z).

Областью определения функции трех переменных D является все трехмерное пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех переменных v=f(x,y,z,t). В этом случае каждый набор чисел (x,y,z,t) определяет “точку” в “четырехмерном пространстве” x,y,z,t. Такой точке и такому пространству нельзя дать геометрической интерпретации. Точка – это набор чисел (x,y,z,t), а пространство – это совокупность всех таких наборов.

Областью определения (x,y,z,t) функции четырех переменных является четырехмерное пространство или его часть.

Можно рассмотреть множество D упорядоченных систем из n чисел (х₁ , х₂ ,..., х_n) и ввести понятие функции n переменных на множестве D, здесь D – n-мерное пространство.

Определение. ( Функция n переменных )

Переменная w называется функцией n переменных x₁, x₂,...,x_n , если каждой системе из n чисел (x₁, x₂,...,x_n) из множества D по определенному правилу или закону f ставится в соответствие некоторое значение (число) w:

w=f(x₁, x₂,...,x_n ).

Областью определения функции n переменных D является n-мерное пространство или его часть.

Областью значений Е является промежуток:

Е={w| w=f(x₁,x₂,...,x_{n )}}.