Условия наблюдения интерференционных максимумов и минимумов

Рассмотрим результирующее колебание в т. М, возникающее при сложении двух гармонических колебаний из т.т. О₁ и О₂, например с начальными фазами равными нулю и одинаковыми амплитудами:

Здесь А - амплитуда волны; - циклическая частота волны;

t - время; k₀ = - волновое число; - длина волны.

Y

M

o

X

Y- смещение колеблющейся точки среды

Рисунок 4  Схема распространения бегущей поперечной волны

O₁ x₁ M

x₂

O₂

О₁, О₂- источники волн; х₁, х₂- расстояния до исследуемой т. М

Рисунок 5  Схема наложения двух когерентных волн в т. М.

Результирующее смещение т. М будет зависеть от координат и .

Далее по формуле суммы косинусов:

,

где - амплитуда результирующего колебания, не зависящая от времени и меняющаяся от точки к точке.

1. Рассмотрим условия, когда амплитуда результирующего колебания достигает максимума. Интерференционный максимум наблюдается, когда на разности хода волн укладывается четное число полуволн:

, (32)

где

Во всех точках пространства, для которых выполняется условие (32),будет наблюдаться интерференционный максимум:

.

Учитывая, что волновое число , получим - максимальная амплитуда.

2. Если на разности хода волн укладывается нечетное число полуволн

, (33)

то в таких точках пространства амплитуда результирующих колебаний будет иметь минимальное значение:

.

Волны как бы гасят друг друга, поэтому условие (33) называется условием интерференционного минимума.

Стоячие волны

Важным частным случаем интерференции волн являются стоячие волны, образующиеся при наложении двух встречных когерентных волн. Выберем начало координат таким образом, чтобы встречные волны имели одинаковые фазы, а начальный момент так, чтобы они были равны нулю. Тогда уравнение обеих волн (падающей и встречной) запишутся в виде:

Сложение двух волн по формуле суммы косинусов дает

.

Множитель сos показывает, что результирующее колебание имеет ту же частоту, что и интерферирующие. Множитель 2А cosk₀ x, не зависящий от времени, представляет собой амплитуду результирующего колебания. Амплитуды стоячей волны зависят от координат. Точки с нулевой результирующей амплитудой называются узлами (интерференционный минимум стоячей волны), а амплитуды, равные сумме амплитуд падающей и встречной волн,  пучностями (интерференционный максимум стоячей волны) (pис.6).

Y

O Х

Рисунок 6  Схема распространения (сплошная кривая) и отражения (штриховая кривая) волны, образующей при наложении стоячую волну.

1.Пучности. Амплитуда стоячей волны 2А cos k₀ x достигает максимума при │cos k₀ x│= 1,

, где ,

то есть пучности наблюдают в точках, отвечающих условию:

.

Расстояние между соседними пучностями равно половине длины волны

2.Узлы. Результирующая амплитуда стоячей волны минимальна при условии:

.

Расстояние между соседними узлами также оказывается равным половине длины интерференционных волн.