• Věta o počtu řešení soustavy

• předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí:

• jestliže h = n, pak soustava má právě jedno řešení

• jestliže h < n, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně

Věta o ekvivalentních soustavách

• Provedeme-li na rozšířené matici soustavy elementární řádkové úpravy, získáme rozšířenou matici soustavy ekvivalentní soustavy (soustavy jsou ekvivalentní, mají-li stejnou množinu řešení).

Gaussova metoda

• Převedu na trojúhelníkovou matici a z poslední rovnice vypočítáme poslední neznámou, posléze dosazujeme do předchozích rovnic odspoda.

• Podle věty o ekvivalentních soustavách, můžeme řešit soustavy lineárních rovnic například tak, že upravíme rozšířenou matici soustavy Ar na trojúhelníkový tvar Ar^. Postupujeme přitom stejně jako při výpočtu hodnosti matice (používáme „povolené“ elementární řádkové úpravy) Trojúhelníkové matici Ar^ nakonec přiřadíme soustavu, jejíž řešení je už jednoduché.

• Ar ~ ... ~ Ar^, Ar^ přiřadíme soustavu, kterou řešíme odspodu

Jordanova metoda

• Matici převedu na jednotkovou matici, řešením je vektor, jehož čísla jsou v sloupci pravých stran.

Homogenní soustava lineárních rovnic a její řešitelnost

• Soustava s nulovými pravými stranami.

• Homogenní soustava má vždy řešení pokud - h = n → Jedno řešení a to „triviální“

- h < n → ∞ mnoho řešení a to „triviální“ řeš. a ∞ mnoho řešení „netriviálních“ (pokud se alespoň jeden prvek ≠ 0)

Součet matic

• Sčítáme matice pouze stejného typu

• Sečteme prvky na stejných pozicích

Reálný násobek matice

• Každý prvek matice vynásobím reálným číslem

Součin matic

• Je definován pouze v případě, že počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B.

• Nechť A je matice typu m x n a B je matice typu n x p. Matice X typu m x p, jejíž prvky xij (skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B) se nazývají součin AB.

Regulární a singulární matice

• Regulární - Čtvercová matice, která má LN řádky

• Singulární - Čtvercová matice, která má LZ řádky

Inverzní matice

• Nechť A je čtvercová matice. Matice A^-1, pro kterou platí A x A^-1= J (jednotková) se nazývá inverzní k matici A.

• Čtvercovou matici A rozšíříme o sloupce jednotkové matice J stejného řádu. Tuto matici upravíme „povolenými“ elementárními řádkovými změnami tak, aby na místě matice soustavy A vznikla jednotková matice J. Pak za svislou přerušovanou čarou je inverzní matice A^-1.

• [ A | J ] ~ ... ~ [ J | A^-1]

• Věta o existenci a jednoznačnosti inverzní matice

• Inverzní matice k matici A existuje tehdy a jen tehdy, když A je regulární. Je-li A regulární matice, pak inverzní matice k matici A je určena jednoznačně.

• Věta o navzájem inverzních maticích

• Je-li A regulární matice, pak matice k ní inverzní A^-1 je opět regulární a platí (A^-1) ^-1 = A

Maticové rovnice

• Rovnice, ve kterých je neznámou matice. Násobení matic není komutativní.

• Věta o řešení soustavy pomocí inverzní matice

• Jestliže A je regulární matice řádu n, B libovolná matice typu n x p, pak maticová rovnice AX =B má právě jedno řešení X = A^-1 B

• Jestliže A je regulární matice řádu n, B libovolná matice typu m x n, pak maticová rovnice AX =B má právě jedno řešení X = BA^-1

• Věta o maticovém řešení soustavy

• Jestliže matice A je regulární, pak soustava lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení x = A^-1b

Definice determinantu

• Determinant čtvercové matice A je číslo, přiřazené této matici určitým způsobem.

Výpočet determinantu 2. a 3. řádu

• 2. řádu – od součinu prvků na hl. diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále

• 3. rádu – Sarusovým pravidlem (Pod matici opíšu 1. a 2. řádek, násobím prvky na diagonálách zleva se znaménkem +, pak násobím prvky na diagonálách zprava se znaménkem -)

• Věta o rozvoji determinantu

• Jestliže A je čtvercová matice řádu n, pak pro i =1,...n platí detA= (-1)ⁱ⁺¹ a_i1 M_i1 + ... + (-1)ⁱ⁺ⁿ a_inM_in , kde M_ij je subdeterminant, který vznikne z determinantu matice A po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce

• Věta o determinantu transponované matice

• Jsou-li matice A a matice A´navzájem transponované čtvercové matice, pak detA=detA´

• Věta o řadových úpravách determinantu

• Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant.

• Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko.

• Přičteme-li k některé řadě determinantu libovolnou lineární kombinaci řad s ní rovnoběžných, pak se hodnota determinantu nezmění.

• Věta o determinantu trojúhelníkové matice

• Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, pak její determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.

• Věta o determinantu regulární matice

• Čtvercová matice A je regulární tehdy a jen tehdy, když její determinant je různý od nuly.

Cramerovo pravidlo

• Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x₁,…, x_n. Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá zapsat ve tvaru , kde A_j je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy.

Konvergence - Limity

Reálná posloupnost

• Zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R se nazývá reálná posloupnost

• Posloupnosti, které jsou rostoucí, klesající, nerostoucí a neklesající nazýváme monotónní