3. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения

Если все члены последовательности (1) положительны , то ряд (4) называется рядом с положительными членами или знакоположительным рядом.

Th 1. 1-ый признак сравнения рядов

Пусть даны два числовых ряда (4) и (5) и пусть начиная с некоторого номера N выполняется

. (7)

Тогда:

1. Из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

2. Из расходимости ряда (4) следует расходимость ряда (5).

□

По Th2 из предыдущего параграфа, без изменения сходимости можно отбросить первые N членов рядов.

Пусть и - n-ые частичные суммы рядов, полученных из (4) и (5) соответственно. По неравенству (7) .

1. Предположим, что ряд (5) сходится, тогда существует конечный предел . Последовательность является возрастающей, так как получена добавлением положительных членов.

С другой стороны, оно ограничена сверху числом . Тогда по Th о пределе монотонной ограниченной последовательности существует ее конечный предел. Следовательно, ряд (4) тоже сходится.

2. Предположим теперь, что ряд (4) расходится, тогда , то есть последовательность - не ограничена. Но так как , то и последовательность - не ограничена. Следовательно, и ряд (5) расходится.

■

Замечание 1.

Условие положительности членов рядов (4) и (5) можно заменить условием их неотрицательности, при этом Th 1 не нарушается.

 Ряд сходится, т.к. все его члены, начиная со 2-го соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии .

Th 2. 2-ой признак сравнения рядов

Пусть даны два числовых ряда (4) и (5) и пусть существует, конечен и не равен нулю. Тогда ряды (4) и (5) сходятся и расходятся одновременно.

□

Пусть . Возьмем . По определению предела последовательности, для этого . , то есть выполняется:

(8)

и (9)

Если сходится ряд (4) то по (9) и первому признаку сравнения сходится и ряд (5). Если сходится ряд (5), то по (8) сходится и ряд (4).

■

Th 3. 3-ий признак сравнения рядов

Пусть начиная с некоторого N выполняется

, (10)

то есть члены ряда (4) растут не быстрее членов ряда (5). Тогда из расходимости ряда (4) вытекает расходимость ряда (5), а из сходимости ряда (5) вытекает сходимость ряда (4).

□

Очевидно будет выполняться , т.е. или ( ). Отсюда в силу 1-го признака сравнения и теоремы 4 предыдущего параграфа вытекает утверждение нашей теоремы.

■

Замечание.

При использовании признаков сравнения нужно иметь набор рядов, относительно которых известно, сходятся они или расходятся.

Первым из таких рядов является геометрическая прогрессия , про который известно, что он сходится при и расходится при .

Другой вид рядов, сходимость которых считается известной, это так называемый гармонический ряд:

(11)

Этот ряд сходится при и расходится при .

4. Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами

Пусть дан числовой ряд с положительными членами

, (1)

Th 1. Достаточный признак сходимости Коши

Пусть существует и конечен предел

, (2)

тогда:

1. При k<1 ряд (1) сходится.

2. При k>1 ряд (1) расходится.

□

Пусть предел (2) существует и конечен.

1. Пусть , возьмем произвольно . Заметим, что . Для взятого найдется номер N начиная с которого , т.е. , где . Мы видим, что начиная с некоторого номера члены ряда (1) меньше соответствующих по номеру членов сходящейся геометрической прогрессии , следовательно в силу первого признака сравнения ряд (1) сходится.

2. Пусть теперь k>1. Возьмем , . Для взятого найдется номер N начиная с которого , т.е. , где . Мы видим, что начиная с некоторого номера члены ряда (1) больше соответствующих по номеру членов расходящейся геометрической прогрессии , следовательно в силу первого признака сравнения ряд (1) расходится.

■

Замечание 1. Для случая k=1 признак Коши не работает и требуется дополнительное исследование.

Замечание 2. Если , то ряд (1) расходится.

1. , , следовательно, ряд сходится.

2. , , следовательно, ряд сходится.

3. , , следовательно, ряд расходится.

Th 2. Признак сходимости Даламбера

Пусть существует и конечен предел

, (3)

тогда

1. При d<1 ряд сходится.

2. При d>1 ряд расходится.

□

Пусть (3) существует и конечен

1. Пусть . Возьмем произвольно . Заметим, что . Для взятого найдется номер N, начиная с которого, , где . Мы видим, что члены ряда (1), начиная с некоторого номера, растут медленнее, чем члены сходящейся геометрической прогрессии , , следовательно, по третьему признаку сравнения ряд (1) сходится.

2. Пусть d>1. Возьмем произвольно . Заметим, что . Для взятого найдется номер N, начиная с которого, , где . Мы видим, что члены ряда (1), начиная с некоторого номера, растут быстрее, чем члены расходящейся геометрической прогрессии , , следовательно, по третьему признаку сравнения ряд (1) расходится.

■

Замечание 1. Для случая d=1 признак Даламбера не работает и требуется дополнительное исследование.

Замечание 2. Если , то ряд (1) расходится. .

1. , , следовательно, ряд сходится.

Th 3. Признак Раабе.

Пусть существует и конечен предел

, (4)

тогда

1. При r>1 ряд сходится.

2. При r<1 ряд расходится.

□ Без доказательства ■

 . Признак Даламбера дает единицу.

, следовательно ряд расходится.