Баланс мощностей.
Вырабатываемая мощность:
PE1=E1*I1=140*4.347=608.57 Вт
PE2=E2*I2=170*(-1.306)= -222.04 Вт
PJ=Ucd*J=237.14*4=948.6 Вт
P∑ист=PE1 + PE2 + PJ= 608.57 + (-222.04) + 948.6= 1335.1 Вт
Мощность потребляемая нагрузкой:
P1=I12*Rветви=0 Вт
P2=I22*R=119.42 Вт
P3=I32*2R=1016 Вт
P4=I42*R=191.3 Вт
P5=I52*R=8.426 Вт
P∑нагр= P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 1335.1 Вт
P∑ист = P∑нагр
1335.1 = 1335.1 Вт
Представим цепь относительно ветви ab активным двухполюсником и определим его параметры.
Выделим
из схемы ветвь ab. Найдем
Ubaxx
2R
I11X
I22X
Ubaxx
I3X
I2X
J
Ucd
R
R
E2
E1
а
b
c
d
Для этого рассчитываем схему методом контурных токов. Считаем, что известно по условию I11=J= 4 A.
Контур (dcbd): I11X*2R – Ucdxx + I22X*2R = E1
Контур (dacbd): I11X*2R + I22X*4R = E2 + E1
– Ucdxx + I22X*2R = E1 – J*2R (1)
I22X*4R = E2 + E1 – J*2R (2)
Из
(2) I22X =
= -0.893 A
I2X = I22X = -0.893 A
I3X = I11X + I22X = 3.107 A
Из контура (dacbd) выразим Ubaxx:
I2X*R + I3X*2R + Ubaxx = E2
Eген = Ubaxx = E2 – I2X*R – I3X*2R = - 202.5 B
Находим Rген:
R
=
52.5 Ом
=
=
=
Rген
2R
R
Схема активного двухполюсника:
а
I4
b
R
Eген
Rген
I4
=
Внешняя характеристика двухполюсника:
Rab,
Ом
I4,
A
0
-3.857
R
= 70
-1.653
2R
= 140
-1.052
3R
= 210
-0.771
4R
= 280
-0.61
5R
= 350
-0.503
Потенциальная диаграмма.
φd=
0 B
φa=
φd+I5*R=-24,29
B
φm=
φa
+E2=145,7
B
φc=
φm
–I2*R=237,14
B
φb=
φc
–
I3*2R
= -140 B
φd=
φb
+
E1
=
0 B
Показания вольтметра:
Uv = Ucb = I3*2R = 2,694*140 = 377,2 В
Линейные цепи синусоидального тока
R
d
ω=
314 рад/с R=
70 Ом L=
222,93 мГн С=
45,4 мкФ α1=
60о α2=
-30о β=
180о
M
n
k
m
c
b
a
ucd
i5
i4
i3
i2
i1
J(t)
e1(t)
e2(t)
C
L
L
2R
R
R
e1(t) = *E1*sin(ωt+ α1) = 140* *sin(ωt + 60o) B
e2(t) = *E2*sin(ωt+ α2) = 170* *sin(ωt - 30o) B
J(t) = *J*sin(ωt+ β) = 4* *sin(ωt+ 180o) A
Взаимная индуктивность между катушками в ветвях ab и bc:
M
=
=
= 111,465 мГн
XМ = ω*M = 314*111,465*10-3= 35 Ом
E1 = 140*e-j60 = 70 + j121,24 B
E2 = 170*e-j30 = 147,22 – j85 B
J = 4*ej180 = -4 + j0 A
Рассчитываем комплексные сопротивления элементов ветвей соединяющих узлы:
XL= ω*L=314*222,93*10-3=70 Ом
XC=
=
= 70 Ом
Z2 = R = 70 Ом
Z3= 2R + jXL = 140 + j70 Ом
Z4= R + jXL = 70 + j70 Ом
Z5=
=
= 35 – j35 Ом
Z5
d
c
b
a
Ucd
I5
I4
I3
I2
I1
J
E1
E2
Z3
Z2
III
II
I
Z4
Не исключая индуктивных связей, определим комплексы действующих значений токов всех ветвей и напряжение на источнике тока.
По законам Кирхгофа составим систему уравнений:
По первому закону:
Для узла а: I4 - I2 - I5 = 0
Для узла b: I3 - I1 - I4 = 0
Для узла с: I + I2 - I3 = 0
По
второму закону:
(2)
Для контура (acba): I2*Z2 + I3*(Z3 – jXМ) + I4*(Z4 – jXМ) = E2
Для контура (dbad): I5* Z5 + I4*Z4 - I3*jXМ = -E1
Cистема шести уравнений в матричной форме вида [A]*[X]=[B]:
0 |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
I1 |
|
0 |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
I2 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
x |
I3 |
= |
-J |
0 |
0 |
Z3 |
–jXМ |
0 |
-1 |
|
I4 |
|
E1 |
0 |
Z2 |
Z3–jXМ |
Z4–jXМ |
0 |
0 |
|
I5 |
|
E2 |
0 |
0 |
–jXМ |
Z4 |
Z5 |
0 |
|
Ucd |
|
-E2 |
X:=(А)-1 * В
|
0 |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
|
|
0 |
|
-1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
0 |
A= |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
B= |
4 |
|
0 |
0 |
140+j70 |
-j35 |
0 |
|
|
70 + j121.24 |
|
0 |
70 |
140+j35 |
70+j35 |
0 |
|
|
147.2 - j85 |
|
0 |
0 |
-j35 |
70+j70 |
35-j35 |
|
|
-70 - j121.24 |
I1
= -0.467+ j2.722=2.762*ej99.7
A I2
= 3.199 + j0.519 = 3.24ej9.4
A I3
= -0.8014 + j0.519 = 0.955ej147.1
A I4
= -0.335 – j2.203 = 2.229e-j98.6
A I5
= -3.534 – j2.722 = 4.461e-j142.4
A Ucd
= -295.65 – j92.95 = 309.921e-j162.5
B
|
-0.4665 + j2.7224 |
|
3.1986 + j0.5191 |
X= |
-0.8014 + j0.5191 |
|
-0.3349 – j2.2033 |
|
-3.5335 – j2.7224 |
|
-295.65 – j92.948 |
Мгновенные значения:
i1 = 2.762* *sin(ωt + 99.7) A
ucd = 309.921* *sin(ωt – 162.5) B
Рассчитываем токи методом контурных токов с учетом магнитных связей.
Считаем, что в цепи протекают контурные токи I11, I22, I33(соответственно контурам схемы I, II, III).
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1 = I11 – I33 I3 = I22 + I11 I5 = I33
I2 = I22 I4 = I33 + I22 I6 = I11 = J = -4 + j0
Подставим в (2):
(I22
+ I11)
Z2
– (I33
+ I22)jXМ
- Ucd
= E1
I22*Z2 + (I22 + I11)Z3 - (I33 + I22)jXМ + (I33 + I22)Z4 - (I22 + I11)jXМ = E2
I33*Z5 + (I33 + I22)Z4 - (I22 + I11)jXМ = -E1
I11*Z3 + I22(Z3 – jXМ) + I33(-jXМ) – Ucd = -E1
I11(Z3 – jXМ) + I22(Z2 + Z3 – jXМ + Z4 – jXМ) + I33(-jXМ + Z4) = E2
I11(-jXМ) + I22(Z4 – jXМ) + I33(Z5 + Z4) = -E1
В матричной форме виде [A]*[X]=[B] получим:
-1 |
Z3 – jXМ |
-jXМ |
|
Ucd |
|
E1 – J*Z3 |
|
0 |
Z2 + Z3 – jXМ + Z4 – jXМ |
-jXМ + Z4 |
x |
I22 |
= |
E2 - J(Z3 – jXМ) |
|
0 |
Z4 – jXМ |
Z5 + Z4 |
|
I33 |
|
-E1 + J*jXМ |
|
X:=(A)-1*B
|
-1 |
140+j35 |
-j35 |
|
|
630+j401.24 |
|
|
-295.66-j92.95 |
A= |
0 |
280+j70 |
70+j35 |
|
B= |
707.2+j55 |
|
X= |
3.199 + j0.519 |
|
0 |
70+j35 |
105+j35 |
|
|
-70-j261.24 |
|
|
3.533 - j2.722 |
I1= I11–I33= -0.467 + j2.722 A I4 = I33 + I22=-0.335 – j2.203 A
I2 = I22= 3.199 + j0.519 A I5 = I33 = -3.534 – j2.722 A
I3=I22+I11=-0.801+ j0.519 A Ucd = -295.66 – j92.95
Искомые величины в данном методе совпали с величинами, полученными методом законов Кирхгофа.