34

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д. Н. Прянишникова

Кафедра ИТАП

Курсовая работа по дисциплине «Методы оптимизации»

На тему: «Методы оптимального решения транспортной задачи с дополнительными условиями (ограничениями)»

Исполнитель: студент группы ПИ-31

Бурягина Оксана Юрьевна

Руководитель: старший

преподаватель кафедры ИТАП

Гревцев Александр Михайлович

Пермь 2010

Содержание

Введение………………………………………….……………………………….….2

1. Транспортная задача: общая постановка, алгоритм решения, основные методы построения ППП, ограничения…………………………………………….4

1.1.Формулировка транспортной задачи……………………………………...…5

1.2 Общий алгоритм решения транспортной задачи……………………………5

1.3 Основные методы построения первоначального опорного плана……………5

1.3.1 Метод северо – западного угла………….……………………………………6

1.3.2 Метод минимальной стоимости………………………………………………6

1.3.3 Метод аппроксимации Фогеля………………………………………………..6

1.4 Транспортная задача с дополнительными условиями…………………….......7

2. Примеры ограничений в транспортной задаче и методы их решения………8

2.1 Запрет перевозок…………………………………………………………………8

2.2 Обязательная поставка…………………………………………………………10

2.3 Задача с запретом поставки и обязательной поставкой………………….......11

2.4 «Потолок» транспортных перевозок………………………………………….20

2.5 «Пол» транспортных перевозок……………………………………………….22

3. Решение транспортных задач с ограничениями с помощью ЭВМ…………...26

3.1 Решение транспортной задачи с помощью MS Excel………………………..26

3.2 Программная реализация транспортной задачи с помощью Delphi 7………30

Заключение………………………………………………………………………….31

Список использованных источников……………………………………………...32 Приложение 1 Блок-схема программы....................................................................33

Приложение 2 Программный код............................................................................36

Введение

Линейное программирование — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. Одна из наиболее распространенных задач линейного программирования — транспортная задача. В общем виде ее можно представить так: требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы стоимость перевозки была наименьшей. Следовательно, дело сводится к наиболее рациональному прикреплению производителей к потребителям продукции (и наоборот).

Актуальность темы курсовой работы заключается в том, что к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения транспортной задачи: распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент, способ двойного предпочтения, различные сетевые методы. Транспортная задача сама по себе может быть усложнена некоторыми существенными ограничениями. Например, потребитель заключает с поставщиком сделку на доставку определенного количества груза или устанавливается «потолок» объема перевезенного груза на одного или нескольких поставщиков. И таких ограничений может существовать огромное количество. Кроме того, следует учитывать, что математическая модель транспортной задачи позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.

В данной курсовой работе я рассмотрю, некоторые ограничения в транспортной задаче и как их решать.

Для реализации данной цели в работе необходимо решить следующие задачи:

- рассмотреть транспортную задачу, общую постановку, цели, задачи;

- рассмотреть наиболее распространенные ограничения в транспортной задаче;

- охарактеризовать методы решения транспортной задачи с ограничениями;

- проанализировать методы решения транспортной задачи с ограничениями.

1. Транспортная задача: общая постановка, алгоритм решения, основные методы построения ппп, ограничения.

1. Формулировка транспортной задачи.

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Пусть имеется m складов, в которых сосредоточен некоторый однородный продукт в количествах соответственно а_i(i=1,2,…,m) единиц. Имеется n потребителей этого продукта в количествах соответственно b_j(j=1,2,…,n) единиц. На основании опытов и расчетов известно, что на доставку одной единицы продукта с i-того склада j-тому потребителю затрачивается с_ij денежных единиц. Все значения c_ij являются постоянными величинами.

Обозначим через x_ij0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) количество продукта, планируемого для доставки с i-того склада j-тому потребителю. Естественно, что если x_ij=0, то доставка продукта с i-того склада j-тому потребителю не планируется.

Очевидно, можно предложить большое число планов обеспечения потребителей, но при выборе любого из них должны быть учтены условия:

(1)

(2)

Выражение (1) определяет, что с любого склада можно взять продукта не более имеющихся там запасов. Выражение (2) означает, что каждый потребитель обеспечивается полностью его заявке. По смыслу задачи должно выполняться условие:

(3)

Последнее выражение (3) означает, что запасов на складах достаточно для снабжения всех потребителей.[1]

2. Общий алгоритм решения транспортной задачи:

1) Составить таблицу специального вида решения транспортной задачи.

2) Определение типа модели (открытая или закрытая)

3) Определение ранга для закрытой модели.

4) Нахождение первоначального плана поставок (ППП) любым из методов. (Северо-западного угла, минимальной стоимости, методом Фогеля).

5) Нахождение оптимального плана поставок (методом потенциалов или любым другим методом).

1.3 Основные методы построения первоначального опорного плана.

Как и для других задач линейного программирования, итерационный процесс по отысканию оптимального плана транспортной задачи начинается с опорного плана.

Невырожденный опорный план транспортной задачи содержит m+n-1 положительных компонент или перевозок.

Если условие транспортной задачи и ее опорный план записаны в виде таблицы, то клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, а остальные  незанятыми.

Занятые клетки соответствует неизвестным, и для невырожденного опорного плана их количество равно m+n-1.

Всякий план транспортной задачи, содержащий более m+n-1 занятых клеток, не являются опорным, так как ему соответствует линейно зависимая система векторов. При таком плане в таблице всегда можно построить замкнутый цикл, с помощью которого уменьшают число занятых клеток до m+n-1.

Существует несколько простых методов построения первоначального опорного плана транспортной задачи.

1.3.1 Метод северо-западного угла

При составлении первоначального опорного плана методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы не учитывается, поэтому построенный план далек от оптимального, получение которого связано с большим объемом вычислительных работ. Поэтому рассмотренный метод используется при вычислениях с помощью ЭВМ. При этом методе на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется левая верхняя клетка (северо-западный угол) оставшейся части таблицы. При таком методе заполнение таблицы начинается с клетки неизвестного и заканчивается в клетке неизвестного , т. е. идет как бы по диагонали таблицы перевозок.[2]