Тема 6. Шкали та кореляційний аналіз

Одна із проблем застосування статистичних методів в економіці полягає в тому, що дослідник декількома натисканнями клавіш в тому чи іншому пакеті отримує великий набір числових показників. Дуже часто отримані результати (незважаючи на найточніші математичні формули) використовуються некваліфіковано, оскільки кожен математичний метод і кожну математичну формулу можна використовувати тільки за певних умов. Особливо гостро це питання стоїть у тому випадку, коли якісні ознаки приводяться до кількісних.

Основні типи шкал

Кількісні методи можуть бути застосовані в економічному аналізі тільки після того, як емпіричні дані будуть переведені на мову чисел. Процедура, внаслідок якої виникає числова модель властивостей об’єкта, називається виміром. При вимірі встановлюється відповідність між властивостями об’єкта і властивостями відповідних їм чисел.

Набір властивостей об’єкта і чисел, що відповідають їм, називається шкалою.

Номінальні шкали.

При побудові такої шкали виконується розбиття множини всіх об’єктів на класи, які не перетинаються. Кожен такий клас є окремим пунктом шкали.

Номінальні шкали

При побудові такої шкали множину всіх об’єктів розподіляють на класи, що не перетинаються. Кожен такий клас є окремим пунктом шкали.

Приклад

Картка абітурієнта містить такі ознаки як місце проживання, стать, національність,..

Якісну ознаку «національність» можна зробити кількісною, наприклад, таким чином:

1 –українець

2 -росіянин

3 -поляк

. . . . .,

утворивши шкалу {1,2,3,…}.

Проте у випадку номінальної шкали над елементами множини {1,2,3,…} не можна виконувати ні арифметичних дій, ні навіть порівняння чисел на > та <. У тому числі не має сенсу і середнє арифметичне. Єдина можлива дія – це порівняння на = та на ≠ . В номінальних шкалах можна також підраховувати кількість об’єктів у кожному класі, їх частоту (процентне співвідношення), знаходити моду (об’єкт, який зустрічається найчастіше).

Іноді розбиття всіх об’єктів на класи не є очевидною задачею і вимагає застосування кластерного аналізу.

Найважливіше те, що у випадку номінальних шкал можна застосовувати лише ті статистичні формули, побудова (виведення. доведення) яких не ґрунтувалося на арифметичних діях над елементами шкали. Зокрема, у випадку номінальних шкал не можна використовувати формулу парної кореляції, оскільки вона включає середнє арифметичне.

Кажуть, що номінальна шкала забезпечує найслабший тип виміру.

Порядкові шкали

Порядкові шкали – це такі шкали, в яких крім відношення (відносин) рівності між об’єктами, встановлено ще й відношення послідовності.

Приклад.

Магістерські роботи випускників економічного факультету розбиваються на три класи згідно педагогічної системи оцінок {3,4,5} та на пять класів згідно шкали {A,B,C,D,E}. Критерії оцінки магістерських такі: «5» може отримати тільки магістрант, який мав хоча б одну публікацію в студентсько-аспірантському збірнику; при відсутності програмної реалізації магістерська робота оцінюється не більше, ніж на «3»;…

Як в першій, так і в другій множині вже можна виконувати операції порівняння на > та < , проте арифметичні дії тут також є недопустимими. Справді, ніяк не можна стверджувати, що магістерська робота на «5» перевищує роботу на «4» на стільки само, як і робота на «4» перевищує роботу на «3». Відстані між елементами таких шкал, отже, встановлювати не можна.

Інтервальні шкали

В інтервальних шкалах є змога визначати віддалі між парами об’єктів. Класичним прикладом інтервальної шкали є термометр (справді, -5 це на 10 градусів холодніше, ніж +5; так само як +20 на 10 градусів холодніше, ніж +30). В інтервальних шкалах допускаються операції додавання та віднімання, проте ні множення, ні ділення (тобто відношення) виконувати не можна. Справді, стверджувати, що 10⁰ - це в 5 разів тепліше, ніж 2⁰ , а -10⁰ - в в 2 рази тепліше, ніж -20⁰ не має сенсу.

Класичною (псевдо)інтервальною шкалою є шкала ІСС (індекс соціального самопочуття), який ще називають «термометром соціальної думки».

Шкали відносин (відношень).

В цих шкалах можна виконувати всі попередні дії, а також дії множення і ділення, тобто знаходження відношень.

Найтиповішими прикладами таких шкал є зарплата, дохід тощо. Справді, зарплата у 12000г є в три рази більшою та на 8000г більшою, ніж зарплата в 3000 г .

Кореляційні та причинно-наслідкові зв’язки

Економіка досліджує, в основному, кореляційні зв»язки між об’єктами, ознаками, показниками. При кореляційних зв’язках при зміні однієї величини змінюється розподіл (зокрема, середнє) іншої.

Проте дуже важливим є на практиці дослідити, чи знайдений кореляційний зв'язок між показником та показником є причинно-наслідковим. Справді, дуже важливо вияснити, чи бідність є причиною (ми не хочемо жити за законами Європи, тому й бідні), чи наслідком (підвищувати вартість проїзду в метро хоча б до рівня Росії не можна, бо ми бідні) нерозумних дій.

Побудуємо часові ряди обох ознак: та .

Розв’яжемо таку економетричну задачу (тест Гренджера): знайти коефіцієнти , , та , щоб виконувалася така регресійна залежність:

(6.1)

При та робимо висновок про те, що зміна величини є причиною для зміни величини . При та процес є причиною процесу .

За дослідження в галузі моделювання причинно-наслідкових зв’язків в економіці Гренджер (Granger) в 2004 році отримав нобелевську премію з економіки.

Зазначимо, проте, що тест Гренджера є вірним тільки тоді, коли всі невраховані в тесті ознаки не справляють суттєвого впливу як на , так і на .

Коефіцієнти зв’язку між ознаками у випадку номінальних шкал

Критерій

Розглянемо набір об’єктів, які характеризуються декількома ознаками. Вони представлені у файлі (таблиці, базі даних):

Табл.6.1.

Обєкти	Ознаки
	x	. . .	y	. . .
1
2
. . .

Нехай ознака може приймати чотири значення , а ознака три значення .

На основі цього файлу маємо таку матрицю (двовимірний гіперкуб), яка задає двовимірний розподіл:

Табл. 6.2

Значення ознаки	Значення ознаки

Тут - кількість об’єктів, у яких ознака приймає значення , а ознака - значення .

При відсутності зв’язку для всіх та мала б місце теоретична частота:

Мірою відхилення емпіричних частот від теоретичних є величина

(6.2)

Ця міра називається критерієм Пірсона або критерієм .

Крім знайденого емпіричного значення за таблицями або за допомогою функції системи EXCEL знаходимо теоретичне значення , де - кількість ступенів вільності (у нашому прикладі , оскільки в таблиці незалежними є тільки 6 значень), а - ступінь довіри. При з ймовірністю 95% можна стверджувати, що зв'язок між ознаками та існує.

Як видно із виведення формули для ., при її виведенні використовувалися лише числа , які відповідають кількостям об’єктів, що мають ознаки та . Дії над самими величинами та не виконувалися.

Критерії, пов’язані з критерієм

Критерій Пірсона пропонує розглядати коефіцієнт середньої квадратичної спряженості

, (6.3)

де .

При відсутності зв’язку коефіцієнт .

Часто розглядають коефіцієнт

Розглядають також коефіцієнт Чупрова

, (6.4)

де та - кількість рядків та стовпців матриці. При маємо .

Для видовжених таблиць використовують коефіцієнт Крамера

. (6.5)

Дослідження зв’язку між ознаками у випадку номінальних шкал.

У номінальних шкалах ознаки можна порівнювати на та . Крім моди, має сенс і поняття медіани. Об’єкти можна впорядковувати за ознаками по зростанню або спаданню. Тим самим кожен об’єкт отримує певний ранг.

Нехай ми маємо об’єктів. Нехай та дві ознаки цих об/єктів, для кожної із яких мають місце відношення «більше-менше».

Утворимо всі можливі пари об’єктів. Цих пар буде .Знайдемо ранги кожного об’єкта як за ознакою , так і за ознакою .

Нехай ранги об’єкта відповідно дорівнюють та .

Нехай також ранги об’єкта відповідно дорівнюють та .

Коефіцієнт рангової кореляції Кендала.

Нехай тепер - кількість таких пар , де ранги пар розташовані в однаковій послідовності (тобто або і ,

або і ).

Через позначимо відповідно кількість таких пар , де ранги розташовані в різних послідовностях ( ).

Коефіцієнт Кендела (Kendall)– це відношення

(6.7)

Зазначимо, що при виведенні коефіцієнту ми використали тільки ранжування об’єктів на “<” та “>” , не виконуючи арифметичних дій над самими ознаками.

Коефіцієнти рангової кореляції Спірмена

Виконавши те саме ранжування, обчислюємо величину

(6.8)

яка називається коефіцієнтом Спірмена.

Коефіцієнти Кандела та Спірмена розраховують, наскільки ко-релюють між собою ранги ознак.

Дослідження зв’язку між ознаками у випадку інтервальних шкал.

Над ознаками в інтервальних шкалах можна виконувати операції додавання та віднімання. Отже, у цьому випадку має сенс знаходити середнє арифметичне, математичне сподівання, середньоквадратичне відхилення, дисперсію, коефіцієнти варіації кожної з ознак.

Коефіцієнт парної кореляції.

У нашому випадку при дослідженні зв’язку між двома ознаками можна всі пари та нанести на графік.

* *

* *

*

* *

*

Рис.6.1.

Дослідимо набір значень та . Якщо значенням однієї ознаки, меншим від її середнього, відповідає значення другої ознаки, теж, менше від середнього, то це свідчить про наявність зв’язку між ознаками. Мірою такого зв’язку може бути кореляція

Якщо зв’язку немає, то додатні і відємні складові врівноважаться і сума буде близькою до нуля.

Для того, щоб міра тісноти зв’язку двох ознак знаходилася в інтервалі [-1;1], потрібно поділити значення на . Отримуємо коефіцієнт парної кореляції:

, (6.9)

де та - середньоквадратичні відхилення ознак від їхніх середніх значень.

Дослідження зв’язку між ознаками у випадку шкал відносин.

Шкали відносин забезпечують найсильніший тип виміру. В цих шкалах можна використовувати усі дії, що й у попередніх шкалах. Можна використовувати всі розгляне ні раніше міри центральної тенденції (моду, медіану, середнє арифметичне,…). Крім того, за рахунок операції множення має сенс і середнє геометричне.

Для оцінювання тісноти зв’язку між різними ознаками можна використовувати і -критерій, і коефіцієнти Кендела та Спірмена, і коефіцієнт парної кореляції (табл.6.3).

Таблиця 6.3.

Тип шкали	Статистичні міри
	Міри центральної тенденції	Міри тісноти звязку
Номінальна	Відсотки, мода	-критерій Пірсона
Порядкова	Відсотки, мода, медіана	-критерій Пірсона, коефіцієнт Кандела, коефіцієнт Спірмена
Інтервальна	Відсотки, мода, медіана, середнє арифметичне, дисперсія, коефіцієнт варіації	-критерій Пірсона, коефіцієнт Кендела, коефіцієнт Спірмена, коефіцієнт парної кореляції
Відносин	Відсотки, мода, медіана, середнє арифметичне, дисперсія, коефіцієнт варіації, середнє геометричне	-критерій Пірсона, коефіцієнт Кендела, коефіцієнт Спірмена, коефіцієнт парної кореляції

Зазначимо, що при аналізі зв’язку між двома ознаками, які належать до різних шкал, слід використовувати властивості тільки шкали нижчого рівня. Наприклад, при дослідженні зв’язку між національностями (номінальна шкала) та розміром зарплати (шкала відносин) можна використовувати лише -критерій Пірсона.

Аналіз одновимірних розподілів в пакеті Statistica виконується в пункті меню Analyze. Descriptive statistics. Freguence. Statistics.

Для аналізу двовимірних розподілів виконуємо: Analyze. Descriptive statistics. Grosstabs. Row (Columns). Statistics.

У вікні Statistics маємо змогу вибрати потрібний критерій:

Chi square ( -критерій Пірсона)

Correlation (тут, зокрема, є критерій Спірмена)

Kendal (коефіцієнт Кендела).

ДОДАТОК А

Таблиця офіційної україно-англійської транслітерації

(прийнята 19 квітня 1996 року

Українською Офіційною Термінологічною Комісією, www.rada.kiev.ua/translit.htm)

Українська літера	Англійська літера	Особливості	Приклади
А	A		Алушта - Alushta
Б	B		Борщагівка - Borschahivka
В	V		Вишгород - Vyshhorod
Г	H, gh	gh – при сполученні ”зг”	Гадяч - Hadiach; Згорани - Zghorany
Ґ	G		Ґалаґан - Galagan
Д	D		Дон - Don
Е	E		Рівне - Rivne
Є	Ye, ie	Ye – на початку слів	Єнакієве - Yenakiieve; Наєнко - Naienko
Ж	Zh		Житомир - Zhytomyr
З	Z		Закарпаття - Zakarpattia
И	Y		Медвин - Medvyn
І	I		Іржава - Irshava
Ї	I	Yi - на початку слів	Їжакевич - Yizhakevych; Кадіївка - Kadiivka
Й	Y, i	Y - на початку слів	Йосипівна - Yosypivka; Стрий - Stryi
К	K		Київ - Kyiv
Л	L		Лебедин - Lebedyn
М	M		Миколаїв - Mykolaiv
Н	N		Ніжин - Nizhyn
О	O		Одеса - Odesa
П	P		Полтава - Poltava
Р	R		Ромни - Romny
С	S		Суми - Sumy
Т	T		Тетерів -Teteriv

Закінчення додатку А

У	U		Ужгород - Uzhhorod
Ф	F		Фастів - Fastiv
Х	Kh		Харків - Kharkiv
Ц	Ts		Біла Церква – Bila Tserkva
Ч	Ch		Чернівці - Chernivtsi
Ш	Sh		Шостка - Shostka
Щ	Sch		Гоща - Hoscha
Ь	‘		Русь – Rus’; Львів – L’viv
Ю	Yu, iu	Yu - на початку слів	Юрій - Yurii; Крюківка - Krukivka
Я	Ya, ia	Ya - на початку слів	Яготин - Yahotyn; Ічня - Ichnia

ДОДАТОК Б. Таблиця офіційної україно-англійської транслітерації

ЗАТВЕРДЖЕНО постановою Кабінету Міністрів України від 27 січня 2010 р. N 55

Джерело: http://zakon.rada.gov.ua/cgi-bin/laws/main.cgi?nreg=55-2010-%EF

. 1. Буквосполучення "зг" відтворюється латиницею як "zgh" (наприклад, Згорани - Zghorany, Розгон - Rozghon) на відміну від "zh" - відповідника української літери ж".

2. М'який знак і апостроф латиницею не відтворюються.

3. Транслітерація прізвищ та імен осіб і географічних назв здійснюється шляхом відтворення кожної літери латиницею.

http://zakon.rada.gov.ua/cgi-bin/laws/main.cgi?nreg=55-2010-%EF