3)Риман интегралы.Геометриялық және механикалық есептеулерде қолданылуы.

Анықтама.Егер интегралдық қосынды -ның нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік сегменттердің ұзындықтары нөлге ұмтылғанда) сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және әр бөлік сегменттен нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті (тиянақты) шегі бар болса, осы шекті функциясының -дан -ға дейінгі немесе сегментіндегі Риман бойынша интегралданады деп,атайды да оны деп белгілейді. санын санын Риманның анықталған интегралы д.а және д. белгілейді.

Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны –интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады. Берілген анықтамадан жоғарғы, төменгі шектер тұрақты сандар болса, анықталған интеграл тұрақты санға тең болатынын байқаймыз, себебі ол айнымалы қосындының шегі.

Қисық сызықты трапеция деп жазықтығындағы осімен, және түзулерімен шектелген облысты айтамыз, мұндағы және функциясының графигі аралығында үзіліссіз

1. 

2. Қарапайымдылық үшін, деп қарастыралық, яғни, қисық сызықты трапеция осінен жоғары орналасқан. Бұл қисық сызықты трапецияның ауданын жуық шамамен оны мәндері функциясының кейбір таңдап алынған нүктелеріндегі мәндерге тең болатын табаны мен биіктіктері өте аз тік төртбұрыштардың аудандарының қосындысымен алмастыру көмегімен табуға болады.

3. Қисық сызықты трапецияның ауданы, оны шекаралайтын қисықтың ординатасынан табаны бойынша алынған интегралға тең:

. Бұл анықталған интегралдың геометриялық мағынасын көрсететін факт қысқаша былай тұжырымдалады: теріс емес функциядан алынған анықталған интеграл қисық сызықты трапецияның ауданына тең.

қисықтық теңдеуі параметрлік түрде берілсін, яғни .

Мұндағы функциясы кесіндісінде біркелкі, сонымен бірге және оның туындысы берілген кесіндіде үздіксіз дейік.

Ал, болғандықтан, анықталған интегралдағы айнымалы алмастыру формуласы бойынша аудан үшін мынадай өрнекті алуға болады:

Мысал. y= , x= .

S=

Полярлық координаттар жүйесіндегі аудан.Полярлық координаттар жүйесінде О нүктесінен шығатын l және m сәулелері және L сызығымен қоршалған сектордың ауданын есептейік. Бас нүкте 0 –дан тараған l және m сәулелер 0х өсімен сәйкес және бұрыш жасайтын болсын. Полярлық координаттар жүйесін пайдаланайық және L қисығының теңдеуі дейік. Қисықсызықты сектордың S ауданын есептейік. Ол үшін секторды бас нүктеден тарайтын бұрыштарына сәйкес келетін сәулелер арқылы n бөлікке бөлейік. Енді және бұрыштарына сәйкес сәулелермен қоршалған бөлікте секторды радиусы болатын дөңгелек сектормен алмастырайық. Сонда бөлікше дөңгелек ауданы:

.

Қарастырып отырған сектордың S ауданы үшін (1)

(Мұндағы ) жуық өрнегі алынады. Алынған қосынды кесіндегі функциясы үшін интегралдық қосынды болады.

Бөліктеу саны n-ді шектеусіз арттырсақ, (1)-нің оң жағындағы өрнектің шегі интегралына тең болады. Сондықтан

Мысал. кардиоидасымен шектелген фигура ауданын есептейік.

Шешімі. Кардиоиданы мен мәндері бойынша тұрғызуға болады. Кардиоида полярлық өске салыстырғанда симметриялы болғандықтан, оның жоғарғы бөлігі ауданын анықтап, оны екі еселеселеу нәтижесінде іздеп отырғаны фигура ауданы алынады. Кардиондамен қоршалған ауданды S дейік.

Сонда формуласын пайдалансақ:

Қисық доғасының ұзындығы. функциясы доғасының дифференциалы немесе (1) ал қисықтың теңдеуі параметрлік теңдеулермен, яғни түрде берілсе, онда функция дифференциалы (2) түрінде жазылады. (1) және (2) теңдіктердің екі жағында кесіндісінде t айнымалысы бойынша интегралдасақ: , (3) . (4) Бұлар қисықтың [a,b] кесіндісіне сәйкес келетін доға ұзындығын анықтау формулалары.

Егер қисық полярлық координаттар жүйесінде теңдеуімен берілсе, онда бұл доға ұзындығы (5) өрнегімен анықталады.

Мысалдар. 1) сызығының бас нүктеден абсциссасы х=5 нүктесіне дейінгі доғасы ұзындығын анықтайық.

Шешімі. болғандықтан, . (3) формулаға сәйкес 2) астроидасының ұзындығын есептейік. Астроида симметриялы болғандықтан, оның бөлігінің ұзындығын анықтау жеткілікті. Сонда , болғандықтан .

Бұл өрнекті t=0 деп -ге дейін интегралдасақ:

Сондықтан, астроида доғасының ұзындығы .

Айналу денесінің көлемі.Айталық [a,b] кесіндісінде берілген y=f(x) қисығы Ох өсінен айналатын болсын. Сонда айналу беті және x=a, x=b жазықтықтарымен қоршалған айналу денесінің көлемін есептейік. Дене көлемін V дейік. Көлемді анықтау үшін [a,b] кесіндісін нүктелері арқылы n бөлікке бөлейік. Бұл нүктелерге сәйкес функция мәндерін y_k=f(x_k) деп белгілейік. Әрбір х_k нүктесі арқылы Ох өсіне перпендикуляр жазықтықтар жүргізейік. Әрбір алынған қабатты жуық шамамен дөңгелек цилиндрмен алмастырсақ; оның биіктігі , ал табаны радиусы -ға тең болады да, бұл цилиндр көлемі: . Осындай барлық қабаттардың көлемі берілген айналу денесінің көлеміне жуық шамамен тең: .

Енді шамаларының ең үлкенін , яғни дейік.

Егер шектеулі шегі бар болса, онда бұл шекті айналу денесінің көлемі V ретінде алуға болады. Анықтамаға сәйкес . Оны былай белгілейді: немесе .

Қисық теңдеуі параметрлік түрде берілсе, яғни болса, онда айналу денесінің көлемі мына формула бойынша есептеледі: .

Егер дененің көлденең қимасы ауданы [a,b] кесіндісінің әрбір нүктесінде P(x) функциясымен өрнектелсе, онда дене көлемі формуласымен есептеледі.

Мысалдар. 1) Радиусы R болатын шардың көлемін анықтайық.

Шешімі. Центрі бас нүктеде жататын радиусы R-ге тең дөңгелекті қарастырайық. Дөңгелектің Ох өсінен айналуынан радиусы R шар алынады. Шеңбердің теңдеуі болатыны белгілі. Бұдан . Шардың ординат өсіне симметриялығын ескере отырып, алдымен шардың тең жартысы көлемін есептейік:

. Сондықтан, шар көлемі: .