Глава вторая элементы динамики движения во времени

2.1. Закон сохранения количества движения во времени Все мы понимаем, что непрерывно движемся во времени из прошлого в будущее вместе с окружающими нас предметами. Тем не менее до сих пор не существует целостной теории движения во времени. Рождение таковой задерживало, как ни странно, изобретение часов. Ибо с появлением механических часов, стрелки которых "идут" мелкими шагами, люди стали говорить не о движении времени, а о "ходе времени", как еще раньше, с изобретением водяных и песочных часов - клепсидр, начали говорить о "течении времени", наблюдая за течением воды или песка в этих часах. Поэтому, когда в 1905 г. А. Эйнштейн предложил СТО, он заявил, что из нее следует, что ход времени зависит от скорости движения в пространстве. Про движение во времени даже речи не было. Эйнштейн изучал закономерности движения в пространстве, а затем и само пространство. Исходя из только-только открытого тогда факта, что в природе не существует скоростей, больших скорости света в вакууме С, он говорил о "ходе времени". Лишь в 1908 г. Г. Минковский, помогавший Эйнштейну разрабатывать математический аппарат теории относительности, догадался, что пространство и время взаимосвязаны, и объединил их в единое четырехмерное пространство-время, в котором движутся все тела. Однако четырехскорость Минковского, о которой мы говорили в разделе 1.2, была далеко не лучшим изобретением СТО - ее недостатки слишком бросались в глаза. Поэтому после смерти Минковского в 1909 г. этим понятием пользовались редко. Потому-то все до сих пор говорят о "ходе времени", а не о движении во времени, упуская из-за этого из вида динамические параметры движения тел во времени. Это все равно, что говорить "бег дороги" вместо "бег автомобиля по дороге". Некоторые скажут, что не видят особой разницы между этими двумя выражениями, поскольку движение - понятие относительное. Но все же на повороте заносит авто-обиль, а не дорогу. Поэтому для безопасного движения автомобиля учитывают его скорость и массу (произведение этих величин называют импульсом), а не массу дороги. Мы уже говорили, что Е. Л. Фейнберг в [7] выражал беспокойство о том, что адиционный кинематический подход к СТО делает ее формальной наукой. Он указал, что для улучшения понимания предмета надо бы исходить из динамических хактеристик движения, и сетовал, что этого никто не сделал. Но сделать это, исхо- 13 динамических характеристик движения тел в пространстве, было, по-видимому, невозможно, а рассматривать динамические характеристики мнимого движения во времени никому, увы, и в голову не приходило до появления работы [8]. В ней впервые было показано, что если учесть динамические параметры движения тел во времени, как учитывают аналогичные параметры движения автомобиля по дороге, то в СТО, столь трудной для понимания, все становится очень простым и ясным. Хотя мнимого движения тел во времени мы не видим, попробуем представить, чти оно в какой-то мере подчиняется законам обычной классической механики, в которой скорость V перемещения тела в пространстве заменим скоростью у движения его во времени. По аналогии с известным уравнением закона сохранения обычного импульса (количества движения) Р = mV в системе центра инерции

(2.1)

составим уравнение для закона сохранения количества движения тела во времени:

(2.2)

Здесь m0 - масса неподвижного в пространстве тела (масса покоя), т - масса того же тела при движении его в пространстве. Мы воспользовались частным случаем уравнения для закона сохранения импульса (2.1). В нем m1 и V, - это, например, масса и скорость пули, а m2 и V2 - соответственно масса винтовки и скорость отдачи, приобретаемой винтовкой при выстреле. Это же уравнение (2.1) описывает и закон сохранения импульса вагона, свободно катящегося по рельсам под мостом, с которого в вагон насыпают песок. Если до моста масса вагона была та скорость V1, то после моста масса вагона с песком возрастает до m2. При этом импульс вагона Р остается неизменным. То же самое справедливо и при движении тела во времени. Только теперь не скорость движения является функцией от массы движущегося тела, как было в примере с вагоном, а наоборот: величина массы тела зависит от скорости у движения данного, тела во времени. Это и отражает уравнение (2.2) и получаемая из него простым алгебраическим преобразованием известная в СТО формула для релятивистской массы

(2.3)

Ее вывод в учебниках по СТО особенно сложен. Мы же получили ее почти шутя, учитывая, что у= 1. Из (2.3) понятно, что масса тела возрастаете увеличением скорости У его движения в пространстве. (Так как . СТО объясняет, что это увеличение массы тела вызывается тем, что в массу превращается кинетическая энергия, сообщаемая телу при его ускорении. А вот из теории движения не только понятна причина возрастания массы, но и объясняется закон, по которому происходит это увеличение массы. Оно обусловлено действием закона сохранения количества движения тела во времени. Это один из важнейших законов природы наряду с хорошо всем известным законом сохранения обычного импульса. Вооружившись законом сохранения-количества движения во времени, мы теперь можем приступить к реализации мечты Е. Л. Фейнберга о выводе основных уравнений формул СТО исходя из динамических характеристик движения тел. Посмотрим, например, что происходит с размерами тел при их движении в пространстве-времени. Для этого домножим обе части уравнения (2.2) на некоторую длину l0, измеренную вдоль направления движения тела в пространстве. Этим мы превратим данное уравнение в уравнение для закона сохранения момента количества движения тела во времени:

(2.4)

Вектор мнимой скорости l движения тела во времени всегда перпендикулярен вектору действительной скорости ßдвижения его в пространстве, поскольку векторы действительной и мнимой частей вектора J, изображающего комплексное число на комплексной плоскости, всегда ортогональны. Значит и соответствующие им векторы действительного (m ß) и мнимого (mу) импульсов также взаимно перпендикулярны. А длину отрезка l0 мы выбрали вдоль вектора m ß значит, перпендикулярно мнимому вектору ту. Поэтому векторное произведение вектора mу на перпендикулярный ему радиус-вектор l0 есть не что иное, как момент мнимого количества движения во времени относительно начала отрезка l0. Само же уравнение (2.4) выражает закон сохранения момента количества движения тела во времени. Обозначим произведение l0у в уравнении (2.4) как некую новую длину l, а величину m заменим ее значением m0lу из формулы (2.3). Тогда уравнение (2.4) превратится в тождество, и мы тем самым докажем известную формулу СТО для лоренцева сокращения длин при движении тел:

(2/5)

Как видим, она тоже выводится из закона сохранения количества движения тела во времени. Это один из основных законов физики, вытекающий, как и закон сохранения обычного импульса, из общепризнанного постулата об однородности пространства Вселенной. Если же мы возьмем отрезок l0 не вдоль, а перпендикулярно направлению щижения тела в пространстве, то векторное произведение l0 на mу будет равно нулю при любых значениях у (как векторное произведение параллельных векторов). Поэтому в последнем случае l1 = l0 при любых у. То есть размеры тел в направлениях, перпендикулярных направлению их движения в пространстве, остаются неизменными при любых скоростях движения. Ну а формулу СТО для релятивистского замедления хода времени на движущихся телах

(2.6)

нам и выводить не надо. Она непосредственно вытекает из данного в разделе 1.3 определения безразмерной скорости у. Разберем теперь, что такое преобразования Лоренца, о которых уже упоминалось выше. Когда вы едете в поезде и находитесь на расстоянии X' от задней стенки последнего вагона, то расстояние от Вас до станции, от которой отъехал поезд, составляет:

(2.7)

Здесь U - скорость поезда, г- время в пути. Такие вычисления в классической механике называют преобразованиями Галилея при переходе от движущейся к неподвижной системе отсчета координат. Много веков считалось, что при переходе от движущейся к неподвижной системе отсчета остаются неизменными длины отрезков и время, а вот скорости движения суммируются геометрически как векторы. Так, скорость Вашего движения по вагону суммируется со скоростью поезда, и относительно столба на обочине дороги Вы движетесь уже с большей скоростью, чем относительно вагона. В конце XIX века результаты опыта Майкельсона указали, что свет от фар едущего паровоза летит вперед относительно паровоза с такой же скоростью, с какой он летит, в тот же момент и относительно столба на обочине дороги. Это открытие потрясло физиков. Начались поиски таких преобразований координат, которые оставляли бы скорость света С неизменной при переходе от движущейся к неподвижной системе отсчета. Они были найдены в 1904 г. X. Лоренцем. Поскольку мы уже знаем, как зависят длина тела и ход времени на нем от скорости движения тела в пространстве, то для нас уже не составит особого труда вывести: формулы преобразований Лоренца. Для едущего в поезде наблюдателя кажется, что это не поезд едет, а окрестным поля и леса движутся относительно него в обратную сторону со скоростью - U. Поэтому расстояния Х до станции (отмеченные верстовыми столбами вдоль дороги) на движущейся относительно него земле подвергаются лоренцевому сокращению по формуле (2.5) и становятся для него равным Х'=Ху, где - скорость движения поезда во времени. Тогда вышеприведенное выражение для преобразования Галилея (2.7) превращается в формулу преобразования Лоренца, для пространственных координа:

(2.8)

А формулу преобразования Лоренца для времени выведем из вышеприведенного выражения (2.6), возведя его в квадрат и разделив обе его части на t. Учтя, что получим:

(2.9)

Здесь - время, измеряемое собственными часами пассажира поезда, а t -время, измеряемое часами на станции. Понятно, что, когда поезд был еще на станции (Х= 0), показания обоих часов совпадали. Ну и, наконец, выведем формулу сложения скоростей СТО, которая даст ответ на вопрос, почему столь странные результаты получились в опыте Майкельсона и в; опытах Физо. Когда пассажир поезда шагает вперед по ходу поезда со скоростью V' относительно вагона, то расстояние X' пройденное пассажиром в вагоне за собственное время т, измеренное часами в вагоне, составит величину X'= 1/ . Подставим это выражение вместо X' в формулы (2.8) и (2.9), а затем разделим (2.8) на (2 9) В результате получим формулу для суммарной скорости движения пассажира относительно земли, по которой едет поезд:

(2.10)

(Эту формулу сложения скоростей за 7 лет до Эйнштейна опубликовал Дж. Лармор.) Из найденной формулы понятно, что, поскольку скорости V' и U не могут превышать величину скорости света С, то суммарная скорость VЕ ни при каких обстоятельствах не превысит скорость света в вакууме С. Начав этот раздел с разговора о количестве движения во времени, давайте и закончим его разговором об этом мнимом импульсе mу. Домножив обе части уравнения (1.16) на m2с2(m квадрат с квадрат) и вспомнив, что mу = m0у0, получим выражение:

(2.11)

Из него видим, что сложение реального импульса движения тела в пространстве Р = mV и мнимого импульса движения того же тела во времени mСу = m0Су0 осуществляется по правилу сложения взаимно перпендикулярных векторов. Это еще раз напоминает нам, что указанные импульсы, как и соответствующие им скорости движения тела в пространстве и во времени, всегда взаимно ортогональны как реальная и мнимая части комплексного числа. А домножив почленно обе части уравнения (2.11) на С2(c квадрат), получим известное в СТО уравнение:

(2.12)

связывающее полную энергию тела Еn = mС2(c квадрат) с его массой покоя ту и импульсом Р. Только здесь эти формулы несут гораздо больше информации, чем в СТО. Эти формулы скоро понадобятся нам. А отсылать читателя за ними к учебникам по СТО мы постеснялись, ибо тогда ему пришлось бы "перелопатить" десятки страниц, и неизвестно еще, с каким результатом. Наш же вывод с помощью теории движения во времени занял всего несколько страниц. Надеемся, что преподаватели физики с Удовольствием возьмут его на вооружение. Это позволит им и их слушателям экономить немало времени даже без "машины времени", к изобретению которой (чем черт не шутит!) может привести дальнейшая разработка теории движения во времени.

2.3. Что такое энергия покоя тела? Для понимания дальнейшего в теории движения и вихревой энергетике нэп понадобится одна очень важная формула. А именно - знаменитая формуя Эйнштейна, связывающая массу с энергией Е = mС2(c квадрат). До Эйнштейна в классическо! механике полагали, что кинетическая энергия движения тела в пространств) определяется формулой

(2.13)

в которой m0 - масса покоя тела, движущегося со скоростью V. Изучая фотоэффект и давление света, экспериментально открытое П. Лебедевым, А. Эйнштейн пришел к выводу, что безмассовые фотоны света несут с собой не только энергию определяемую формулой Планка но и импульс Р = Е/С. Ну а поскольку импульс Р - это произведение массы тела на его скорость, а скорость фотонов свет: С, то в данном случае Р = mС. Отсюда следовало для фотонов:

(2.14)

То есть безмассовые фотоны при движении как бы приобретали эффективную массу тем большую, чем больше энергия фотона. Эйнштейн выдвину, предположение, что эта формула справедлива не только для фотонов, но и для любы тел. При этом масса т в данной формуле - это полная (релятивистская) масс движущегося тела, определяемая выражением (2.3). Из него следует, что покоящемуся в пространстве телу (имеющему массу покоя m0) соответствует энергия

(1.15)

Эйнштейн назвал ее "энергией покоя" тела, или "внутренней энергией" тела Почему внутренней? - Потому что в начале XX века люди представляли себе элементарные частицы вещества чем-то вроде сильно сжатых пружин, удерживаемых о распрямления какими-то огромными силами неизвестной природы. Энергию эти сжатых "пружин" (или прижатых друг к другу отталкивающихся электрических зарядов - составных элементов частицы) и назвали внутренней энергией вещества. Расчеты по формуле (2.15) показывали, что в каждом грамме любого веществ содержится столько внутренней энергии, что если бы ее высвободить и превратить электроэнергию, то хватило бы на год отоплять и освещать целый город. Но в начал XX века никто не знал, как высвободить эту энергию. Лишь последующее развитии ядерной физики, физики элементарных частиц и ядерной энергетики с высоко точностью подтвердило догадку Эйнштейна и правильность формулы (2.15). Но никто до сих пор не мог объяснить, что это за "энергия покоя" и откуда он берется. Да и строгого вывода формулы (2.15) не существовало. Сам Эйнштейн при ее выводе в [16] использовал методы приближенного исчисления, дающие заведомо не очень точные результаты. А последователи гения, угадавшего эту формулу, по примеру В. Паули пытались найти точный вывод ее с помощью интегрального исчисления. В некоторых справочниках (например, в [17]) до сих пор фигурирую этот "вывод":

(2.16)

За математической безукоризненностью этих формул составители справочников проглядели один физический "прокол". А именно, под знаком интеграла мы видим выражение . Дифференциалы в нем означают пределы бесконечно малых величин ∆Р и ∆l при ∆t, стремящемся к нулю. Но соотношение неопределенностей квантовой механики, открытое В. Гейзенбергом пять лет спустя после публик В Паули вышеприведенного "вывода" формулы Эйнштейна, гласит, что произвел не может быть меньше величины постоянной Планка h. Значит, в (2.16] знаком интеграла . И при это выражение стремится к бесконечности вместо ожидаемой бесконечно малой величины С2(c квадрат)dm. Так квант механика зачеркнула труд разработчиков теории относительности, пользовавшихся классической механикой с ее бесконечно малыми величинами. Остается то удивляться составителям современных справочников. Но ценность формулы Эйнштейна от этого не уменьшается, она блестяще подтверждается работой атомных электростанций, в которых высвобождает используется часть энергии покоя урана. Современный французский критик теории относительности Л. Бриллюэн отмечал, что формулу Эйнштейна "невозможно вывести ни из о, существующей в настоящее время теории или модели", как и формулу М. Планка . Он писал, что эти угаданные двумя гениями формулы - "не результат исходный пункт нашего мышления", что смысл "троицы", энергия = масса = час составляющей итог всех законов физики, все еще находится в глубокой тайне". В книге [8] указан еще один возможный ответ на вопрос о том, что такое энергия покоя тела. Из закона всемирного тяготения Ньютона вытекает, что всякое тело со; вокруг себя гравитационное поле (поле тяготения), каждая точка которого характеризуется потенциалом

(2.17)

Здесь С- постоянная тяготения, т - масса тела, г- расстояние от центра м; тела до рассматриваемой точки. Гравитационный потенциал показывает, какой энергией гравитационного взаимодействия с данным телом будет обладать в данной точке поля другое тело, имеющее массу m1. Энергтя гравитационного взаимодействия

(2.18)

обусловлена силами притяжения тел друг к другу. Это энергия связи тел, и ее при тать отрицательной. Например, энергия гравитационной связи с Землей яблока, лежащего на ее поверхности и имеющего массу кг, составляет -6-106(десять в шестой степени). Чтобы поднять яблоко и забросить его в дальний космос, где притяжение Земли уже изчезающе мало, надо совершить положительную работу 6-106(десять в шестой степени) Дж. Сумма этой положительной энергии и найденной выше отрицательной энергии связи и даст почти нулевую энергию связи яблока с Землей в дальнем космосе. В этом примере мы учли притяжение яблока только к Земле. Но на него действ еще и поля тяготения от Луны, Солнца и других бесчисленных тел Вселенной Попробуем вычислить суммарный гравитационный потенциал, создаваемый всеми ими, а затем и суммарную энергию гравитационной связи нашего яблока со всеми телами Вселенной. На первый взгляд эта задача может показаться немыслимой, ибо Вселенная безгранична, а расстояния до небесных тел так велики... Но по современным представлениям Вселенная имеет конечный объем. определяется радиусом кривизны ее пространства (или, для краткости, про радиусом Вселенной) . В этом объеме довольно равномерно распределены галактики, составляющие массу Вселенной г. Величины хоть и не очень точно, но уже вычислены астрофизиками по результатам многочисленных наблюдений. А согласно космологическому принципу Эйнштейна все точки Вселенной равноценны. Поэтому любую из них можно рассматривать находящуюся на расстоянии R0 от "центра массы" Вселенной. Тогда гравитационный потенциал, создаваемый всей массой Вселенной в точке, где находится наше яблоко (как и в любой другой точке), будет как на поверхности шара с радиусом и массой Вселенной и составит величину

(2.19)

Подставив сюда числовые значения, увидим, что 0 приблизительно равен квадрату скорости света -С2(с квадрат), но со знаком минус. (Гравитационный потенциал имеет размерность квадрата скорости.) Вычислим теперь энергию гравитационной связи тела со всеми остальные телами Вселенной как произведение массы этого тела на гравитационный потенциал Вселенной:

(2.20)

Итак, мы неожиданно получили формулу, очень похожую на знаменитую формулу Эйнштейна для энергии покоя тела! Но формула (2.20) определяет потенциальную энергию тела в гравитационном поле Вселенной. Так это и есть "энергия покоя" тела ? Видим, что с этой точки зрения величина -С2(с квадрат) в формуле Эйнштейна - это просто квадрат скорости света, а гравитационный потенциал Вселенной. Приблизительное, а не строгое равенство мы получили потому, что не очень то знаем величины . Но строгое равенство не доказано ни в одном известном выводе формулы Эйнштейна. Не исключено, что за неточностью этого равенства кроется будущая фундаментальная теория, развивающая далее теорию относительности. Ведь и казавшаяся в прошлом столь точной механика Ньютона тоже, как оказалось, давала только приблизительные значения вычисляемых величин. За этой неточностью скрывалась релятивистская механика, без которой невозможно решать такие, например, задачи, как движение частиц в ускорителях, где скорости приближаются к скорости света С. Полученная формула (2.20) отличается от эйнштейновской еще и знаком минус потому что энергия гравитационной связи считается отрицательной. На это мои было бы сказать, что знак - дело условное, и напомнить, что на самом деле отрицательных энергий не бывает, как и отрицательных масс. Что отрицательная энергия связи в системе из нескольких тел, например в атоме, - это всего лиш недостача положительной массы-энергии до какой-то большей величины. А в целом сумма всех энергий системы остается положительной величиной. Но в следующих разделах книги мы найдем более интересный ответ на этот вопрос об отрицательных энергиях. А здесь еще раз отметим, что как висящее на дереве яблоко обладает потенциальной энергией, которая высвобождается при падении яблока на земли так и все "висящие" в пространстве Вселенной тела тоже обладают такого же рода потенциальной энергией . Но только они не могут "упасть" к "центру Вселенной", как не падает на планету ее спутник.