Введение

В настоящей работе на основе аналитического метода – метода матрицанта, разработанного д.ф.-м.н., профессором Тлеукеновым С.К. исследуется распространение пьезоупругих волн в неоднородных анизотропных средах и строится структура фундаментальных решений.

Актуальность исследования закономерностей пьезоупругих волновых процессов связано с постоянно расширяющимся применением пьезокерамических преобразователей в ультраакустике, радиоэлектронике, измерительной и вычислительной технике. В связи с этим интенсивно развивается раздел механики деформируемого твердого тела, именуемый обычно электроупругостью. Это направление, опираясь на использование определенных физических свойств естественных кристаллов и керамик искуственного происхождения, изучает механику связанных электрических и механических полей.

Развитие методов исследования волновых процессов в упругих средах необходимо для решения широкого круга теоретических и прикладных задач сейсмологии, геофизики, механики композитных материалов и т.д.

В настоящее время достаточно хорошо разработанными можно считать методы исследования волновых процессов в однородных и слоисто-однородных изотропных средах. Успех теории волн в изотропных средах, в первую очередь, связан с возможностью потенциального представления вектора смещения, позволяющего привести уравнения движения однородной изотропной среды, к волновым уравнениям относительно потенциалов и строить решения в форме плоских волн. Однако потенциальное представление вектора смещения неприменимо уже в случае неоднородных изотропных сред. Такое представление отсутствует и в случае анизотропных сред.

В связи с этим, наглядный и эффективный для однородных и изотропных сред метод плоских волн оказался, в случае анизотропных сред, совсем не простым. Неоднородность и анизотропия являются наиболее распространенными свойствами реальных сред. Волновые явления в кристаллах, т.е. в средах с ярко выраженной анизотропией целого ряда физических свойств, характеризуются более сложными закономерностями по сравнению с изотропным случаем. Существующие аналитические методы исследования волновых процессов применяются в основном для изотропных сред и сред с высокой симметрией. В случае анизотропной среды эти методы либо не приводят к необходимым количественным и качественным результатам, либо полученные на их основе решения практически не обозримы и малопригодны. Следовательно, развитие методов исследования и формирование представлений о поведении волн в анизотропных средах следует считать одной из первоочередных и актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Уравнения движения в анизотропных средах отличаются сложностью и обилием параметров. Поэтому, по-видимому, конструктивным единственным путем является последовательное и детальное изучение закономерностей в распространении волн в достаточно широком классе анизотропных сред с тем, чтобы установить зависимости тех или иных волновых явлений от структуры параметров среды, определяющих анизотропию среды. Естественно, что такое изучение нужно проводить на базе возможно более простых волн достаточно общей природы, и к последним, прежде всего, следует относить плоские волны, систематическое количественное изучение которых далеко неудовлетворительно.

В связи с вышеизложенным, изучение структуры решений уравнений движения анизотропных сред всех типов сингоний, исследование зависимости этих решений от структуры параметров среды, построение матрицантов в неоднородных и периодически неоднородных средах является актуальным.

В работе установлены следующие, имеющие научную новизну результаты:

• Построены структуры матриц коэффициентов систем дифференциальных уравнений первого порядка, к которой сводятся уравнения движения упругих анизотропных сред и уравнения Максвелла в квазистатическом приближении, описывающих распространение волн в среде неоднородной вдоль оси z.

• Исследована зависимость структуры матриц коэффициентов, описывающих распространение волн в пьезокристаллах кубической, гексагональной, тетрагональной, ромбической и тригональной сингоний в объемном и плоском случаях от структуры материальных параметров среды. Из структуры матрицы коэффициентов определены типы волн, связи между ними и потенциальным электрическим полем.

• Построены структуры матрицанта уравнений движения, описывающих распространение пьезоупругих волн в анизотропных средах вдоль координатных плоскостей.

• Получены уравнения дисперсии распространения пьезоупругих волн в периодически неоднородных средах, основанного на аналитическом представлении матрицанта.

• Получены уравнения дисперсии пьезоупругих волн, распространяющихся в однородном слое при различных граничных условиях, на основе аналитического представления матрицанта усредненной среды.

• Получены уравнения индикатрис скоростей пьезоупругих волн, распространяющихся в координатных плоскостях анизотропных сред кубической, гексагональной, тетрагональной и ромбической сингоний и на их основе построены сечения скоростей пьезоупругих волн.

Основные положения, выносимые на защиту:

Изучение закономерностей распространения двумерных пьезоупругих волн, основано на

• исследовании структуры матриц коэффициентов, описывающих распространение пьезоупругих волн, в неоднородных вдоль оси z анизотропных средах кубической, гексагональной, тетрагональной, ромбической и тригональной сингоний;

• определении структуры матрицантов в зависимости от структуры матриц коэффициентов;

• исследовании распространения волн в периодически неоднородных средах, основанный на аналитическом представлении матрицанта;

• построении матрицанта усредненных пьезоупругих сред и уравнений дисперсии волн в однородном слое при различных граничных условиях;

• получении уравнений индикатрис скоростей пьезоупругих волн, распространяющихся в координатных плоскостях анизотропных сред и на их основе построены сечения скоростей пьезоупругих волн.

Практическая ценность работы. Структура фундаментальных решений и явный вид аналитических представлений матрицанта позволяет исследовать периодически неоднородные анизотропные среды и усредненные структуры, строить уравнения дисперсии и уравнения индикатрис скоростей для широкого класса анизотропных сред.

Краткий обзор литературы

Вопросам физики пьезокристаллов и их практическим применениям посвящен ряд статей и книг, среди которых наиболее полными являются монографии Кэди [1], Мэзона [2] и Voigt [3]. В них суммированы сведения, полученные с момента открытия пьезоэффекта братьями Жаком и Пьером Кюри до конца 50 – х годов прошлого века. Теория электроупругости получила систематическое изложение в трудах [4-9]. Дальнейшее развитие механики сопряженных электроупругих полей в пьезоэлектриках, связанное с постановками граничных задач электроупругости и разработкой методов их решения, содержится в работах [10-18]. То обстоятельство, что линейные уравнения состояния предварительно поляризованной пьезокерамики по виду совпадают с соответствующими соотношениями для кристаллов гексагональной сингонии, позволяет единообразно формализировать постановки основных граничных задач.

К настоящему времени в литературе накопилось много различного рода исследований и конкретных результатов в области статических и динамических задач электроупругости. Достаточно полный обзор работ, выполненных приблизительно до 1980г., содержится в [19].

До начала 60 – х годов в акустике пьезокристаллы применялись для возбуждения объемных ультразвуковых волн и создания ультразвуковых линий задержки радиочастотного диапазона. Исследованию волновых процессов в пьезоэлектриках в этот период уделялось мало внимания. Отметим лишь две важные работы. Kjame [20] сделал попытку совместного исследования уравнений пьезоакустики и электродинамики, а Шапошников [21] рассмотрел взаимодействие электронов проводимости с ультразвуковыми волнами в пьезокристалле.

Переломной оказалась работа Hutson A.R., McFee J.H., White D.L. [22]. В ней сообщалось об экспериментальном наблюдении сильного взаимодействия ультразвуковых волн с электронами проводимости и об усилении ультразвука при сверхзвуковом дрейфе носителей заряда в пьезоэлектрическом полупроводнике – сульфиде кадмия. Несколько позже Hutson A.R. и White D.L. [23] опубликовали феноменологическую теорию этого явления. Упомянутые работы стимулировали бурное развитие акустики и акустоэлектроники пьезокристаллов.

Наряду с акустоэлектроникой бурно развивается акустооптика. Предсказанное еще Мандельштамом [24] и Brillouin L. [25] явление дифракции света на ультразвуке было позднее достаточно хорошо изучено [26-29], но особого внимания не привлекло. Однако необходимость экспериментальной идентификации различных типов упругих волн, возбуждаемых в пьезоэлектриках, и измерения их характеристик, а также потребность в эффективном управлении лазерным излучением привели в 60 – х годах ко второму рождению акустооптики и созданию обширного класса акустооптических устройств обработки информации и внутрилазерных устройств управления излучением.

Почти одновременно с изучением взаимодействия объемных упругих волн с плазмой полупроводника и световыми волнами исследователи обратили внимание на упругие поверхностные волны в пьезокристаллах. Первые теоретические работы, посвященные взаимодействию электронов с поверхностными акустоэлектрическими волнами в пьезоэлектриках (ПАВ) принадлежат Бассу, Гредескулу и Каганову [30], Гуляеву и Пустовойтову [31]. Существенный вклад в изучение ПАВ внесли Уайт и Вольтмер, впервые использовавшие возможность возбуждения и приема поверхностных волн системой металлических электродов (так называемый встречно – штыревой преобразователь). Год спустя они же продемонстрировали возбуждение и усиление поверхностной волны релеевского типа в сульфиде кадмия. Почти одновременно усиление поверхностных волн в сульфиде кадмия было получено Васьковой и Викторовым [32].

ПАВ обладают по сравнению с объемными рядом преимуществ в эксперименте и практическом использовании, которые были быстро осознаны и способствовали расширению исследований в электронике и радиотехнике. В результате были созданы разнообразные устройства для обработки, хранения и передачи информации: линии задержки, радиочастотные фильтры, резонаторы, генераторные миниатюрные элементы кодирования и декодирования сигналов и т.п. [33]

Наряду с упомянутыми выше существуют работы, посвященные исследованию специфики волновых процессов в пьезокристаллах именно как связанных упругих и электрических колебаний. Если в безграничной среде эта связь приводит лишь к дополнительной анизотропии акустоэлектрических волн, то в ограниченных пьезоэлектриках возникают новые и своеобразные эффекты. Отметим в первую очередь возможность существования чисто сдвиговых поверхностных волн [34], которые не могут распространяться в кристаллах не обладающих пьезосвойствами. При отражении и преломлении акустоэлектрической волны возникают помимо отраженной и прошедшей волн “сопутствующие” поверхностные колебания не являющиеся собственными колебаниями системы, а само отражение волн от свободной поверхности при всех углах падения имеет характер полного внутреннего отражения [35]. Наличие сопутствующих поверхностных колебаний приводит к эффективному усилению акустоэлектрической волны, отраженной от полупроводника с током [36]. Упомянем еще возможность двойного лучепреломления и лучеотражения сдвиговых волн в пьезоэлектриках без изменения поляризации, распространение «щелевых» волн в зазоре между пьезокристаллами [37,38], явление полного прохождения через зазор [39], волны на периодически неровной поверхности [40]. Большое количество работ посвящено математическому исследованию возбуждения волн в пьезоэлектриках внешними источниками [41].

Связанность механических и электрических полей и анизотропия вносят дополнительные трудности в анализ граничных задач электроупругости. Повышается порядок дифференциальных уравнений для полевых величин, механические и электрические граничные условия обычно не разделяются, что приводит к необходимости рассмотрения сложных граничных задач математической физики.

Различные задачи распространения и дифракции волн рассматривались в работах Айталиева Ш.М., Алексеевой Л.А. и Масанова Ж.К.. В исследованиях волновых процессов в слоисто-однородных и кусочно-непрерывных моделях среди численных методов, не связанных с матричным методом, известна методика расчета спектров и сейсмограмм, предложенная А.Л. Левшиным [42-44]. Она основана на применении спектральной теории дифференциальных операторов и одном из вариантов метода прогонки.

Различные численные методы решения задач динамики слоистых сред изложены в работах Завадского В.Ю. [45], Гринченко В.Т., Мелешко В.В., Кубенко В.Д. [46, 47], Чигарев А.В. [48, 49], Петрашень Г.И. и др.

Интенсивное развитие и применение в исследовании волновых процессов получили асимптотические методы. Наиболее известным является лучевой метод, предложенный В.М. Бабичем и получившим развитие в его работах совместно с Булдыревым В.С., Молотковым И.А. и др. [50, 51]. Широко применяется метод эталонных уравнений, ВКБ метод, метод параболических уравнений [49,51-52]. Применение различных численных и приближенных методов описаны в работах [53-59]. В работах Л.М. Бреховских [60] был предложен метод, основанный на построении уравнения Рикатти относительно коэффициента отражения в непрерывно неоднородной слоистой среде. В его монографии [60], кроме того, приведены практически все случаи одномерно неоднородных сред, для которых решение скалярного волнового уравнения может быть получено в известных функциях. Следует отметить, что идея метода уравнения Рикатти, предложенного Л.М. Бреховским наиболее полное воплощение получила в матричных методах.

Матричный метод предложил Thompson W.T. [61] для численного решения задачи отражения волн от системы однородных упругих слоев ограниченных снизу и сверху жидкими полупространствами. Haskell N.A. [62] применил затем этот метод для численного анализа уравнений дисперсии поверхностных волн в кристаллах. В настоящее время матричный метод является одним из наиболее эффективных и широко применяемых методов в самых различных областях и изучении волновых процессов различной природы в сейсмологии [57,58,63-71], исследовании волн в пъезокристаллах [72,73], полупроводниковых диэлектриках [74], в оптике [75-78] и других областях.

Наибольшее развитие численная реализация матричного метода получила в работах Шульги Н.А. [79-83], Молоткова Л.А. [84-88]. Суть метода, развиваемого Шульгой Н.А., заключается в сведении краевых задач к бесконечным системам алгебраических уравнений и их численной реализации. Основное направление исследований Молоткова Л.А. также связано с решением различных вопросов численной реализации матричного метода. Из зарубежных авторов следует отметить работы Kennet B.L.N. [57,58,69], Knopoff L. [70], Dunkin I.W. [89], Gilbert F., Backus G.E. [67], Watson T. [90], Woodhouse J.H. [91], Richards P.G. [92] и Thower E.N. [93].

В работах Молоткова Л.А. была рассмотрена численная реализация решений уравнений движения, представленного в форме экспоненциального ряда [87], учитывалось до 20 членов этого ряда. При этом область удовлетворительного совпадения численных расчетов и точных решений ограничивалась отношением ( – ширина слоя с линейным ростом и постоянной скоростью распространения волны поляризации, - длина волны).

При исследовании волновых процессов в анизотропных средах матричный метод применялся в основном при изучении и численном анализе уравнений дисперсии [62,56], либо для численного решения задач в средах с достаточно высокой симметрией [94].

Анализ литературы, посвященной изучению волновых процессов в анизотропных средах, показывает, что эти исследования ограничивались определением особых направлений [95], построением индикатрис скоростей [95,96].

В большинстве работ аналитического характера рассматриваются либо частные случай анизотропии, либо отсутствуют алгоритмы решения. Наиболее заметные работы по распространению волн в анизотропных средах выполнены Петрашевым Г.И. и его учениками [97]. В основе их подходов вновь обосновывается численная реализация и посвящены построению алгоритмов численных расчетов с применением лучевых разложений.

Достаточно широко матричный метод применяется при исследовании распространения волн в периодических структурах при построении уравнений дисперсии, определении усредненных характеристик и уравнений индикатрис [64,65,81]. Вопросы исследуются во многих работах и на основе различных подходов. Среди которых следует отметить работы Бахвалова Н.С., Панасенко Г.М. [98], Рытова С.М. [99], Ризниченко Ю.В. [100], работы [101-104]. Следует отметить, что кроме задач сейсмологии и геофизики вопросы усреднения имеют первостепенное значение для механики композитных материалов [55,105,106] и многослойных конструкций [103].

Проблема построения и изучения структуры матрицантов в работах по исследованию волновых процессов практически отсутствует. Отдельные элементы симметрии установлены для матриц пропагаторов четвертого порядка в работах Woodhouse J.H. [91] и Kennet B.L.N. [68]. Однако эти элементы симметрии были установлены исходя, из законов сохранения и не привели в дальнейшем к изучению структуры решений.

Полиномы Чебышева-Гегенбауэра [107] широко применялись в дискретных структурах [108]. В слоистых средах применение этих полиномов было ограничено матрицами второго порядка [74-76]. Однако их применение не следовало из понятия структуры матрицанта, а было следствием применения интерполяционной формулы Сильвестра и впервые было применено Abeles F. [109]. Причем это применение ограничивается слоисто-однородными структурами, поскольку в этом случае матрицант второго порядка строится явно, и его корни являются решениями характеристического уравнения второй степени.

В настоящее время данная проблема решается с помощью матричного метода. Первый этап исследований по применению этого метода к исследованию динамики неоднородных сред начал разрабатываться в конце 70 – х годов и изложен в монографии Ержанова Ж.С., Жубаева Н.Ж. и Тлеукенова С.К. [110,111], в которых развивается аналитический метод, основанный на построении структуры матрицантов системы уравнений первого порядка с переменными коэффициентами, к которой сводятся исходные уравнения, описывающие динамику исследуемого волнового поля. Введение понятия структуры матрицанта и ее определение позволило распространить классические методы, развитые Бриллюэном и Пародии [108] для дискретных периодических структур, на сплошные периодически неоднородные среды, а также в два раза понизить степень характеристического уравнения, определяющего дисперсию волн, что, несомненно, является одним из существенных достоинств и конструктивным отличием этого метода от других его модификаций.

В публикациях Тлеукенова С.К., в частности, была определена структура матрицантов уравнений движения неоднородных анизотропных сред в самом общем случае, положили начало качественно новому уровню исследований динамики неоднородных сред с применением рассматриваемого метода – изучению закономерностей распространения волн различной физической природы в неоднородных и периодически неоднородных анизотропных средах.

Применение рассматриваемого метода матрицанта [112] для исследования распространения упругих волн [113-116], электромагнитных волн [117-120], пьезоупругих волн [121-135] в неоднородных анизотропных средах проводятся в этих работах. Распространение волн в средах с магнитоэлектрическим эффектом исследуется в [136,137] и с термоупругим эффектом [115,138-143]. Распространение изгибных волн изучается в работах [144-146]. Работы ТлеукеноваС.К. и Ильясовой Г.С. [147-153] посвящены описанию метода матрицанта и его приложениям.

Краткое содержание

В первом разделе рассматриваются механические, электрические и пьезоэлектрические свойства кристаллов. Приводятся уравнения, описывающие распространение пьезоупругих волн в кристаллах.

Во втором разделе на основе применения метода разделения переменных уравнения движения упругих анизотропных сред и уравнения Максвелла в квазистатическом приближении приведены к эквивалентной системе уравнений первого порядка. Устанавливается структура матриц коэффициентов системы уравнений в зависимости от симметрии пьезоупругих анизотропных сред (кубическая, гексагональная, тетрагональная, ромбическая и тригональная сингонии) и направления координатной оси, вдоль которой параметры среды переменны. Рассматриваются объемный случай распространения волн, распространение в координатных плоскостях. Для всех отмеченных случаев устанавливается структура матриц коэффициентов. Проводится анализ полученных матриц, определяются типы волн распространяющихся в данных средах и устанавливаются связи между ними и потенциальным электрическим полем.

В третьем разделе излагается построение структуры матрицанта уравнений движения, описывающих распространение двумерных пьезоупругих волн для анизотропных сред кубической, гексагональной, тетрагональной, ромбической и тригональной сингоний.

В четвертом разделе на основе структуры матрицанта уравнений движения, полученных в третьем разделе, приводится аналитическое представление матрицанта уравнений движения пьезоупругой периодически неоднородной среды и рассматривается построение уравнений дисперсии. Приводится аналитическое представление усредненной периодической среды.

В пятом разделе строится структура усредненного матрицанта, на основе которого строятся уравнения дисперсии для однородного слоя при различных граничных условиях. Рассматривается построение уравнений индикатрис скоростей двумерных пьезоупругих волн, распространяющихся в анизотропных средах ромбической, кубической, тетрагональной и гексагональной сингоний. Графически построены сечения поверхности скоростей двумерных пьезоупругих волн для данных сред.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 114 печатные страницы.