Дифференциальные ур-я движения систем с конечным числом степеней свободы.
Ур-е в прямой форме:
Введем вектор перемещения систем:
Вместо параметра инертности М (масса или момент инерции) введем матрицу инертности. В наиболее простом случае диагональный вид.
Вместо коэффициента жесткости введем матрицу жесткости.
Сij – величина силы (или пары сил), которую следует приложить к инертному элементу по j-тому направлению для того, чтобы получить единичное перемещение(линейное или угловое) в направлении i-той координаты. (ед.скорость)
Коэффициент жесткости совпадает с коэффициентом rij канонических ур-ий метода перемещений.
Размерность коэффициента жесткости соответствует размерности силового фактора ÷ на размерность перемещения.
Три системы с n степенями свободы может иметь 4 варианта размерностей
С = [ кН/м; кНм/рад; кН/рад=кН; кНм/м=кН]
Вместо коэффициента неупругого сопротивления λ, введем коэффициент (матрицы) демпфирования.
Вместо параметра нагрузки P(t) введем вектор нагрузки P̅:
В матричной форме ур-е движения системы имеет вид:
(59) – ур-е вынужденных
колебаний с сопротивлением.
(60)
– свободные колебания сопротивлением.
(61)
– свободные колебания без сопротивления.
Д.У. Движения систем с n степенями свободы в обратной форме.
Введя аналогичные обозначения для вектора перемещений матрицы инертности и матрицы демпфирования, введем дополнительно матрицу податливости вместо коэф-та жесткости.
δij – величина (лин. или угл.) перемещения по направлению i – той координаты от действия единичной силы или пары сил по направлению j – координаты.
δij = [ М/кН; рад/кН=1/кН]
В матричной форме:
(62)
(63)
(64)
(64̍̍)
Лекция № 6
Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы.
Будем рассматривать на основе уравнения в прямой форме без сопротивления
(61)
Перепишем (61) в алгебраической форме (развернутой форме):
(а)
Имеем систему дифференциальных уравнений 2-го порядка, состоящую из n уравнений с постоянными коэффициентами.
Уравнения линейные:
(б)
Подставляя (б) в (а) и
сокращая на
дифференциальные уравнения превращаются
в алгебраические и решение теперь не
зависит от времени.
-
амплитуды перемещений;
k – собственная частота системы;
-
начальная фаза.
(в)
Получена система однородных алгебраических уравнений.
В этой системе неизвестными являются амплитуды и частоты k.
Для определения частоты необходимо приравнять к 0 определитель, составленный из коэффициентов перед амплитудой.
(г)
Раскрывая определитель получим уравнение n-ной степени относительно k:
(65) – вековое уравнение.
Это уравнение имеет n корней, представляющих собой собственные частоты системы.
k
0
– низшая частота системы – основная частота (основной тон).
Высшие тона – оберток.
После вычисления собственных частот можно определить амплитуды колебаний.
Для решения системы (в) зададимся одной из амплитуд и разделим на неё все уравнения:
Решая эту систему уравнений, получим набор амплитуд для каждой частоты:
- набор этих амплитуд представляет собой
собственную форму системы.
S=1
S=2
Таким образом в спектре системы с конечным числом степеней свободы имеется «n» собственных частот, каждой из которых отвечает собственная форма, представляющая собой набор относительных амплитуд колебаний.