7.4. Обеспечение необходимой точности при численном интегрировании

Пусть имеется метод приближенного вычисления некоторой величины I c использованием шага h. Например, вычисление интеграла, решение дифференциальных уравнений и т.д. Мы рассмотрим вычисление интеграла

.

Функция f(x) задана аналитически, то есть в виде формулы. На практике часто применяется следующий прием вычисления величины I с заданной точностью . Выбираются шаги h₁ и h₂ (h₂ < h₁), и с использованием выбранных шагов выполняются приближения I₁ и I₂ к величине I (т.е. вычисляют значение I₁ при заданном шаге h₁ и I₂ при заданном h₂). Затем по некоторому критерию близости сравнивают I₁ и I₂. Если величины I₁ и I₂ достаточно близки, то величина I₂ принимается за приближенное значение I. Если I₁ и I₂ не близки, то выбирается шаг h₃ ( h₃ < h₂), вычисляется величина I₃, которая сравнивается с I₂ и т.д.

На практике, как правило, шаги h_k выбираются так, что и величина I_k+1 принимается за приближенное значение I, если выполнено условие

(7.13)

Рассмотрим алгоритм вычисления определенного интеграла методом трапеции с заданной точностью с использованием описанного приема. Пусть требуется вычислить с точностью ε. Функция .

1. Ввод исходных данных: a, b, ε, n (n – начальное число разбиений отрезка [a,b]).

2. Выбор начального шага

3. Вычисление ; ; i = 0, 1, …, n .

4. Вычисление методом трапеций с шагом h величину

5. Вычисление n=n∙2; h=(b-a)/n .

6. Вычисление ; вычисление y_i .

7. Вычисление

8. Если , то

9. Если , то

10. Если , то I₁ = I₂.

11. Если , то идем к п. 5 .

12. Вывод I= I₂.

13. Конец вычислений.

Данный алгоритм применим, если функция y=f(x) задана аналитически, т.е. в виде формулы. Если f(x) задана в табличном виде ( например, она является результатом экспериментов), то приходится ограничиваться данным множеством точек, т.е. алгоритм не применим.

7.5. Применение численных методов для вычисления кратных интегралов

Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

, (7.14)

G – область интегрирования. Например,

Одним из простейших методов вычисления интеграла (7.14) является метод ячеек. Будет рассмотрен случай, когда область интегрирования G является прямоугольником:

По теореме о среднем найдем среднее значение функции f(x, y):

, (7.15)

где S – площадь области интегрирования G.

Будем считать, что среднее значение приблизительно равно значению функции в центре прямоугольника, т.е.

,

где - координаты центра прямоугольника. Теперь из (7.15) можно получить выражение для приближенного вычисления двойного интеграла:

(7.16)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки ΔG_ij (см. рис. 7.3). В пределах ячейки ΔG_ij

, (i = 1, 2, 3, …, m);

, (j = 1, 2, 3, …, n).

Здесь m и n – количество элементарных отрезков соответственно на осях х и у (количество узловых точек соответственно равно m+1 и n+1). Количество ячеек равно m∙ n. Длины сторон ячеек (длины элементарных отрезков): , .

Рис. 7.3. Схема метода ячеек

Применяя к каждой ячейке ΔG_ij формулу (7.16), получим:

(7.17)

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла

. (7.18)

В правой части стоит интегральная сумма. Поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивании их в точки при и ). Эта сумма стремится к точному значению интеграла для любой непрерывной функции f(x, y).

Для повышения точности используют обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число

раз, т.е. отношение m/n остается постоянным.

Другим довольно распространенным методом вычисления кратных интегралов является их сведение к последовательному вычислению определенных интегралов. Интеграл I для прямоугольной области можно записать в виде

(7.19)

Для вычисления обоих определенных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные методы. Например, метод трапеций.