Задание №2

1. На основе равноинтервальной группировки, проведенной при выполнении задания №1, построить частотный и кумулятивный ряды распределения, оформить их в таблице, изобразить графически в виде полигона, гистограммы, кумуляты.

2. Проанализировать вариационный ряд распределения признака, вычислив:

• среднее арифметическое значение;

• моду и медиану распределения;

• коэффициент вариации.

Анализ статистических совокупностей включает в себя:

- построение рядов распределения;

- графическое представление распределения;

- опреде­ление характеристик центра распределения, показателей вариации.

Рядами распределения называют числовые ряды, характеризующие структуру совокупности по некоторому признаку. Ряд распределения мо­жет быть получен в результате структурной группировки. Ряд распределе­ния, образованный по количественному признаку (он называется вариаци­онным радом), может быть дискретным, если значения признака выражены целыми числами и каждая варианта представлена в вариационном ряде от­дельной группой, или интервальным (непрерывным), если значения при­знака выражены вещественными числами или число вариант признака дос­таточно велико.

Ряд распределения состоит из следующих элементов:

x_i - вариант - отдельное возможное значение признака;

n_i - частота - численность отдельных групп соответствующих зна­чений признака;

N - объём совокупности - общее число элементов совокупности;

_i - величина i – го интервала.

Полученный вариационный ряд оформляется в виде таблицы, где в первой графе указываются варианты (интервалы) значений признака, а в следующей графе - частота.

Ряд распределения по частоте в целом характеризует структуру совокупности по данному признаку. Однако для описания рас­пределения совокупность могут использоваться и кумулятивные ряды, т.е. ряды накопленных частот. Накопленная частота данного значения признака - это число элементов совокупности, индивидуальные значения признака которых не превышают данного. Обозначение: n_нi.

Важным этапом изучения вариационного ряда является его графиче­ское изображение. Способы построения графиков для разных видов рядов распределения различны.

Изображением дискретного ряда распределения является полигон. В системе координат по оси абсцисс откладываются варианты x_i, по оси ор­динат - частоты n_i, затем отмечают точки с соответствующими координатами, которые последовательно соединяются отрезками прямой.

Интервальный ряд распределения изображается графически в виде гистограммы. При ее построении на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. Над осью абсцисс строятся прямоугольники, основанием которых является интервал, а высота - соответствующая этому интервалу частота.

Изображением ряда накопленных частот служит кумулята. Накоп­ленные частоты наносятся в системе координат в виде ординат для границ интервалов. Соединяя нанесенные точки отрезками прямых, получаем кумуляту.

Вторым этапом изучения вариационного ряда является определение характеристик центра распределения. Характеристика центра распределе­ния представляет собой такую величину, которая в некотором отношении характерна для данного распределения и является его центральной вели­чиной.

К характеристикам центра распределения относятся: средняя арифметическая, медиана, мода.

Для сгруппированных данных, представленных в вариационном ряду, средняя арифметическая ( ) определяется как:

,

т.е. в качестве веса при усреднении берётся частота n_i, соответст­вующая групповым значениям x_i. Если ряд дискретный, то каждое значе­ние признака представлено. Если же ряд интервальный, то его нужно пре­вратить в условно- дискретный: в качестве группового значения x_i для каж­дого интервала вычисляется его середина.

Медиана (М_е[x]) - это такое значение признака, которое делит объём совокупности пополам в том смысле, что число элементов совокупности с индивидуальными значениями признака, меньшими медианы, равна числу элементов совокупности с индивидуальными значениями больше медианы.

Численное значение медианы можно определить по ряду накоплен­ных частот. Накопленная частота для М_е[х] соответствует половине объёма совокупности. Имея ряд накопленных частот, можно вычис­лить, при каком значении признака накопленная частота равна половине объёма совокупности. Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал, в котором будет находиться М_е[x], само значение при­ближённо можно определить как:

,

где - начало интервала, содержащего медиану;

- величина интервала, содержащего медиану;

- накопленная частота предмедианного интервала;

N - объём совокупности;

- частота медианного интервала.

Мода (М_о[x]) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Для дискретного ряда − это то значение, которому соответствует наибольшая частота распределения. Для интервального ряда вначале определяется интервал, содержащий моду: тот, которому соответствует наибольшая частота распределения. Затем приближённо определяется численное значение моды.

Если ряд равноинтервальный, то используется формула

,

где - начало интервала, содержащего моду;

- величина интервала, содержащего моду;

- частота того интервала, в котором расположена мода;

-частота интервала, предшествующего модальному;

-частота интервала, следующего за модальным.

Средняя величина характеризует уровень, закономерный для данной совокупности. В ряде случаев одно и то же численное значение средней может характеризовать совершенно различные совокупности. По­этому для того, чтобы судить о типичности средней для данной совокупно­сти, её следует дополнить показателями, характеризующими вариацию (изменчивость, колеблемость) признака. Наиболее распространёнными из них являются:

- дисперсия,

- среднее квадратичное (или квадратическое) отклонение,

- коэффициент вариации.

Дисперсия D − это среднее арифметическое из квадратов отклонений признака от его средней величины. Если ряд интервальный, то при расчете этой средней берётся середина интервала. Для расчетов удобной является формула:

,

где .

Наиболее широко на практике применяется такой показатель вариа­ции, как среднее квадратичное отклонение ( ), который представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Относительным показателем изменчивости признака в анализируемой совокупности является коэффициент вариации (V):

.

Коэффициент вариации позволяет сравнивать вариации различных признаков, а также одноименных признаков в разных совокупностях.