4. Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики

Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини Х при фіксованому значенні Y = y_i називається перелік можливих значень випадкової величини Х = х_i та відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Y = y_i.

У табличній формі запису умовний закон Х / Y = y_i має такий вигляд:

X = x j	x1	x2	x3	…	xm
	Pi1 / Py1	Pi2 / Py2	Pi3 / Py3	…	Pim / Pym

При цьому має виконуватись умова нормування:

Числові характеристики для цього закону називають умовними.

Умовне математичне сподівання

(117)

Умовна дисперсія і середнє квадратичне відхилення обчислю­ються відповідно за формулами

; (118)

. (119)

Умовним законом розподілу випадкової величини Y при фіксованому значенні Х = х_і називається перелік можливих значень випадкової величини Y = у_j і відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Х = х_і.

У табличній формі запису умовний закон має такий вигляд:

Y = у j	y1	y2	y3	…	ym
	P1j / Pх1	P2j / Рх2	P3j / Px3	…	Pmj / Pxm

При цьому має виконуватись умова нормування:

.

Умовне математичне сподівання

(120)

Умовна дисперсія

(121)

Умовне середнє квадратичне відхилення

(122)

Приклад 2. Задано двовимірний закон розподілу:

Х = хj Y = yi	10	20	30	Pyi
– 6	0,02	0,05	0,03	0,1
– 4	0,08	0,15	0,07	0,3
– 2	0,2	0,3	0,1	0,6
Pxj	0,3	0,5	0,2

Обчислити М (Х / Y = – 4); М (Х / Y = 30); (Y / X= –4 );  (Y / X = 30).

Розв’язання. Для обчислення М (Х / Y = – 4), М (Х / Y = 30) необхідно побудувати відповідні умовні закони розподілу.

Умовний закон розподілу Х / Y = – 4:

X = x j	10	20	30
	0,08/0,3	0,15/0,3	0,07/0,3

P(X / Y = – 4) = 0,8 / 0,3 + 0,15 / 0,3 + 0,07 / 0,3 = 1

M(X / Y = – 4) = 1 / 0,3 (10  0,08 + 20  0,15 + 30  0,07) =

= (0,8 + 3 + 2,1) = 3,2 / 0,3 = 10,7;

M(X² / Y= – 4) = 1 / 0,3 (100  0,08 + 400  0,15 + 900  0,07) =

= (8 + 60 + 63) = 131 / 0,3 = 1310 / 3;

D (X / Y= – 4) = 1310 / 3 – (32 / 3)² = 1310 / 3 – 3481 / 9 = (3930 – 3481) / 9 = 449 / 9;

(X / Y = – 4) = (449 / 9)^0,5 = 1 / 3(2906)^0,5 = 7,1.

Умовний закон розподілу Y / Х = 30:

Y = у j	– 6	– 4	– 2
	0,03 / 0,2	0,07 / 0,2	0,1 / 0,2

P (Y / Х = 30) = 0,03 / 0,2 + 0,07 / 0,2 + 0,1 / 0,2 = 1;

M (Y / X = 30) = 1 / 0,2 (– 6  0,03 – 4  0,07 – 2  0,1) = = 1 / 0,2 (– 0,18 – 0,28 – 0,2) = – 0,66 / 0,2= – 3,3;

M (Y ² / X = 30) = (36  0,03 + 16  0,07 + 4  0,1) 1 / 0,2 (1,08 + + 1,12 + 0,4) = 2,6 / 0,2 = 13;

D (Y / X = 30) = 13 – (–3,3)² = 13 – 10,89 = 2,11;

 (X / Y = – 4) = (2,11)^0,5 = 1,45.