4. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемого признака Х генеральной совокупности неизвестен. В этом случае необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаются нулевая гипотеза Н₀ и ей конкурирующая Н₁.

Н₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Нулевая гипотеза проверяется с помощью критерия согласия.

Критерий ² (“хи-квадрат”) Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий, может применяться для проверки гипотезы о любом законе распределения. Независимо от того, какое распределение имеет Х, распределение случайной величины  ²:

,

где – эмпирические частоты, – теоретические частоты; при стремится к  ² – распределению с k степенями свободы.

Теоретические частоты определяются, исходя из предположения о законе распределения генеральной совокупности, в данном случае о нормальном законе. Так как , где р_i – теоретическая вероятность, то .

Для дискретного ряда:

, где , –дифференциальная фун­кция нормированного нормального распределения, шаг , – выборочная средняя,  – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для интервального ряда:

, где Ф(t) – функция Лапласа.

Рассчитав теоретические частоты, находят . Из таблицы критических точек распределения  ² (приложение 4) по заданному уровню значимости  (достаточно малая вероятность) и числу степеней свободы k находят (, k) – границу правосторонней критической области (см. рис. 5). Здесь k = s – r – 1 , где s – число различных значений x_i дискретного или число интервалов (x_i–1 – x_i ) непрерывного признака Х, r – число параметров предполагаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, отсюда k = s – 3. Затем сравнивают и (, k) и делают вывод.

а) б)

Рис. 5

При формулировке вывода руководствуются следующим правилом:

• если наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (  (, k)), как показано на рис. 5 а), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения признак Х имеет нормальный закон распределения, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) случайное;

• если наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (  (, k)), как показано на рис. 5 б), то нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) значимо.

Пример 9. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности:

	14	18	32	70	20	36	10
	10	24	34	80	18	22	12.

Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н₀ и ей конкурирующую Н₁.

Н₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область. Проверим гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение  ² с k = s – 3 = 7 – 3 = 4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия  ² по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:

	14 18 32 70 20 36 10	10 24 34 80 18 22 12	1,6 1,5 0,118 1,25 0,222 8,909 0,333
Итого	200	200	13,932 .

  13,93; (0,05; 4) = 9,5 (приложение 4). Сравниваем и (0,05; 4).

Так как  (0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (см. рис. 5 б), нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.

Пример 10. Установить закон распределения признака Х – затраты времени на обработку одной детали, данного в примере 6.

Решение. Признак Х – затраты времени на обработку одной детали.

Выдвигаем нулевую и конкурирующую гипотезы.

Н₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Для проверки гипотезы сделана выборка объемом n = 100, и по данным выборки найдены выборочные характеристики: _в = 28 мин, _в = 1,93 мин (рас­считаны в примере 6). Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение  ² с k = s – 3 = 6 – 3 = 3 степенями свободы. Предварительно рассчитаем теоретические частоты по формуле:

,

так как ряд интервальный.

Расчеты представим в таблице:

xi+1			xi
24 26 28 30 32 34	–2,07 –1,04 0 1,04 2,07 3,11	–0,4807 –0,3508 0 0,3508 0,4807 0,49901	22 24 26 28 30 32	–3,11 –2,07 –1,04 0 1,04 2,07	–0,49901 –0,4807 –0,3508 0 0,3508 0,4807	1,832 12,9913 35,0835 35,0835 12,9913 1,83 2
Итого	-	-	-	-	-	99,8100.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия, расчеты запишем в таблице:

	2 12 34 40 10 2	2 13 35 35 13 2	0 0,08 0,03 0,71 0,69 0
Итого	100	100	1,51 .

Итак,  = 1,51; (0,01; 3) = 11,3 (приложение 4). Сравниваем и (0,01; 3).

Так как  (0,01; 3), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (см. рис. 5 а), нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения она справедлива, признак Х имеет нормальный закон распределения. Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайное.

Итак, признак Х – затраты времени на обработку одной детали, имеет нормальный закон распределения (по данным выборки).