2.6. Розрахунок надійності та продуктивності технологічних систем

Для побудови моделі процесу функціонування необхідно описати процеси появи та усунення відмов на формальній мові подій і станів технологічної системи, що дасть змогу визначити ймовірність знаход­ження технологічної системи в кожному зі станів. При такому підході можна за єдиною методикою, детально розробленою в теорії масового обслуговування, знайти коефіцієнт готовності і технічну продуктивність складних технологічних систем.

2.6.1. Коефіцієнт готовності

Оскільки технологічна система є об'єктом з відмовами, що усува­ються в процесі його експлуатації, то у найпростішому випадку можна виділити два стани цієї системи:

працездатний стан 0, коли технологічна система функціонує і ви­пускає продукцію, ймовірність знаходження в якому дорівнює Р₀;

непрацездатний стан 1, коли технологічна система не функціонує че­рез роботи з усунення відмови, ймовірність знаходження в якому дорів­нює Р₁.

Технологічна система може змінювати свій стан у будь-який момент часу. Перехід технологічної системи із одного стану в інший відбувається практично моментально, у випадкові моменти виходу з ладу технологіч­ної системи чи завершення її відновлення. Сума ймовірностей знаход­ження системи в усіх зазначених n станах дорівнюватиме одиниці, тобто

що дає для технологічної системи із двома можливими станами

Перехід системи із одного стану в інший називається подією. По­слідовність однорідних подій, що відбуваються одна за одною у випад­кові моменти часу, створює потік випадкових подій. Оскільки можливі стани технологічної системи перелічені, а моменти можливих переходів із одного стану в інший не фіксовані і можуть настати в будь-який час, то процес функціонування являтиме собою марковський випадковий про­цес із дискретними станами і безперервним часом. Випадковий потік подій, який має властивості стаціонарності, ординарності, та не має післядії, буде найпростішим, або стаціонарним пуасонівськBV потоком.

Аналізуючи випадкові процеси із дискретними станами технологіч­ної системи, використаємо для зручності граф станів, у якому стани по­значаються вершинами графа, а переходи із одного стану в інший — його дугами (рис. 2.13).

Нехай система в момент часу і перебувала в стані 0. Ймовірність того, що за малий проміжок часу вона пе­рейде у стан 1, позначимо / Ця ймовірність буде ймовірні­стю появи відмови у функціону­ванні технологічної системи, а потік випадкових подій являтиме собою потік відмов. Тоді щіль­ність ймовірності або інтенсивність цього переходу визначиться як

.

При малих значеннях матимемо спрощене співвідношення

Беручи до уваги, що час функціонування технологічної системи може вимірюватись у циклах, позначивши ймовірність невиконання одного циклу , отримаємо для ймовірності цього переходу

Якщо тривалість переходів технологічної системи із стану 0 в стан 1 розподілиться за експоненційним законом, то густина ймовірності пе­реходу збігатиметься з параметром експоненційного закону розподілу . Потік відмов вважається безперервним, оскільки функціонування технологічної системи розглядається упродовж багатьох циклів N, тобто тривалий час, порівняно з яким тривалість одного робочого циклу Т є безмежно малою величиною. У цьому випадку виконується умова

NT>>T.

Тоді параметр потоку відмов визначиться як

де — середній час між двома відмовами, виражений кількістю робо­чих циклів.

Ймовірність того, що за малу кількість циклів технологічна сис­тема перейде із стану 1 в стан 0, позначимо . Вона характеризує ймовірність відновлення функціонування технологічної системи, а потік випадкових подій буде потоком відновлень. Час відновлення працездат­ності технологічної системи є також випадковою величиною, тому інтен­сивність відновлення визначиться як

де — середній час відновлення працездатності технологічної систе­ми, виражений кількістю технологічних циклів.

Щоб визначити ймовірність перебування технологічної системи в момент часу N в j-му стані, сформуємо систему диференційних рівнянь Колмогорова за формальними правилами. У лівій частині к ожного рівняння записується похідна по часу, вираженому в циклах, від ймовір­ності знаходження технологічної системи в j-му стані в момент реалі­зації якогось циклу, а в правій — члени, що відповідають дугам, які з'єднують вершину даного стану з іншими. Кожен член дорівнює до­буткові інтенсивності переходу ( чи ) на ймовірність того і-го стану, із яким зв'язана дуга графа. Якщо ця дуга входить у даний стан, то знак добутку додатний, якщо виходить — то від'ємний.

Для технологічної системи, граф якої представлений нарис. 2.13, отримаємо

Якщо розглядати усталений режим довготривалого функціонуван­ня технологічної системи, тобто при , то всі похідні можуть бути прирівняні до нуля і система диференційних рівнянь перетвориться на систему алгебраїчних:

Ці рівняння дають змогу визначити коефіцієнт готовності техноло­гічної системи К_Г як ймовірність Р₀ перебування технологічної системи в працездатному стані у будь-який момент часу при усталеному режимі функціонування: