1.2. Аналитическая модель

Аналитической моделью будем называть описание поверхности математическими формулами. В КГ можно использовать много разновидностей такого описания. Например, в виде функции двух аргументов z = f (х, у). Можно использовать уравнение F (х, у, z) = 0.

Зачастую используется параметрическая форма описания поверхности. Запишем формулы для тpeхмерной декартовой системы координат (х, у, z):

x=F_x(s,t),

y=F_y(s,t),

z=F_z(s,t)

где s и t  параметры, которые изменяются в определенном диапазоне, а функции F_x, F_y и F_z будут определять форму поверхности.

Преимущества параметрического описания  легко описывать поверхности, которые отвечают неоднозначным функциям, замкнутые поверхности. Описание можно сделать таким образом, что формула не будет существенно изменяться при поворотах поверхности, масштабировании.

В качестве примера рассмотрим аналитическое описание поверхности шара. Сначала как функцию двух аргументов:

z = ±  R² х²у².

Затем в виде уравнения:

х² + у² +z²R² = 0.

А также в параметрической форме:

х = R sin s cos t,

у = R sin s sin t,

z = R cos s.

Для описания сложных поверхностей часто используют сплайны. Сплайн  это специальная функция, более всего пригодная для аппроксимации отдельных фрагментов поверхности. Несколько сплайнов образуют модель сложной поверхности. Другими словами, сплайн  это кривая или поверхность специального типа, которая может использоваться для аппроксимации фрагментов линий или поверхностей сложной формы. Обычно используют кубические сплайны. Почему именно кубические? Потому, что третья степень – наименьшая из степеней, позволяющих описывать любую форму, и при стыковке сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную – такая поверхность будет без изломов в местах стыка. Сплайны часто задают параметрически. Запишем формулу для компоненты x(s,t) кубического сплайна в виде многочлена третьей степени параметров s и t:

x(s,t)= a₁₁s³t³+ a₁₂s³t²+ a₁₃s³t+ a₁₄s³+

a₂₁s²t³+ a₂₂s²t²+ a₂₃s²t+ a₂₄s²+

a₃₁s t³+ a₃₂s t²+ a₃₃s t + a₃₄s +

a₄₁t³ + a₄₂t² + a₄₃t + a₄₄

Характеризуя аналитическую модель в целом, можно сказать, что эта модель наиболее пригодна для многих операций анализа поверхностей. С позиций КГ можно указать такие положительные черты модели: легкая процедура расчета координат каждой точки поверхности, нормали; небольшой объем информации для описания достаточно сложных форм.

К недостаткам относятся следующие: сложные формулы описания с использованием функций, которые медленно вычисляются на компьютере, снижают скорость выполнения операций отображения; невозможность в большинстве случаев применения данной формы описания непосредственно для построения изображения поверхности. В таких случаях поверхность отображают как многогранник, используя формулы аналитического описания для расчета координат вершин граней в процессе отображения, что уменьшает скорость сравнительно с полигональной моделью описания.