Доведення

Нехай дано числа . , ,

Наслідок: за граничну абсолютну похибку приймають величину:

Наслідок: Якщо , ; якщо

Теорема: відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника.

§4

Загальна похибка для формули

(Похибка функції)

Нехай задана система величин . Задані похибки . Задана функція . Мета: обчислити абсолютну і відносну похибки U через похибки величин .

. Як правило невеликі, тому другим і вищими їх ступенями можна знехтувати, тоді

(1)

Поділивши останю рівність на (U) отримаємо відносну похибку

(2), або ( )

y=f(x)

(3)

(4)

Розділ 2 наближені розв’язки рівнянь та їх систем

§1

Ітераційні методи розв’язування рівнянь. Принцип стискуючих відображень в метричному просторі.

Нехай дано рівняння (1). Суть полягає в наступному: нехай в деякій достатньо малій області Д існує єдиний розв’язок рівняння (1). Вибираємо в цій області деяку точку (початкове наближення) достатньо близько до і за допомогою співвідношення (2) будуємо послідовність точок : (при ). Вибираючи різними способами функцію будемо отримувати різні ітераційні методи.

Означення: метричним простором прийнято називати впорядковану пару , Х - множина елементів довільної природи, - функція відстані, яка задовольняє наступним аксіомам:

1. , причому

2. 

3. 

Означення: Послідовність точок називається фундаментальною, якщо

Означення: метричний простір називається повним, якщо фундаментальна послідовність є збіжна.

Означення: деякий оператор Аздійснює стискування метричного простору в себе, якщо

Означення: точка x називається нерухомою точкою оператора А, якщо Ax=х

Теорема1: в повному метричному просторі Х задано оператор стиску А, тоді шснує єдина нерухома точка цього відображення, тобто рівняння має єдиний розв’язок, який може бути знайдений як границя послідовності .

Теорема2: нехай в повному метричному просторі Х або на його частині яка містить окіл S деякої точки , заданий параметр А. Нехай виконуються умови:

1.

2.

тоді в околі S існує єдиний розв’язок рівняння (3), який може бути отриманий як границя послідовності (4).

Означення: кажуть, що функція на області Д задовольняє умову Лібшеця, якщо існує деяка стала К така, що .

Теорема3: нехай рівняння має корінь в деякому крузі S: і функція в цьому крузі задовольняє умову Лібшеця з константою К<1, тоді яке б не було послідовність (2)

буде збігатися до причому швидкість збіжності характеризується нерівністю

(5).

Означення: умова Лібшеця з константою к<1, буде виконуватись якщо в околі точки має місце нерівність

, тоді умову (5) часто записують так

, (6) .

§2

Відокремлення коренів рівняння з однією змінною

Нехай задано рівняння (1) , де визначена і неперервна на деякому скінченному чи нескінченному інтервалі.

Означення: корінь рівняння (1) називається відокремленим, якщо існує деякий окіл точки в якому не має інших коренів.(для кожного рівняння вказати проміжок, що містить лише один розв’язок)

Задача знаходження наближеного розв’язку рівняння (1) поділяється на два етапи:

1. Відокремлення коренів – виділення якомога вужчих інтервалів в кожному з яких є лише один корінь.

2. Уточнення кореня – зведення його до необмеженого ступеня тосності.

Для відокремлення коренів корисними є твердження:

1. Якщо неперервна функція на кінцях приймає значення різних знаків, тобто , то на є принаймі один нуль цієї функції. Якщо похідна зберігає знак, то такий нуль єдиний.

2. є многочлен степеня m, то рівняння (1) не може мати більше ніж m коренів.

Наприклад: Відокремити корені рівняння

Визначити кількість коренів зростає на всій числовій осі. Оскільки . , то корінь единий. Запишемо

§3