9.6.3. Дисперсия случайной величины

Дисперсия D случайной величины  определяется формулой

D = M( – M)². (9.6.3)

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину  с законом распределения

	1	2	3
Р

Вычислим её математическое ожидание.

M = 1  + 2  + 3  = 

Составим закон распределения случайной величины  – M

– M
Р

а затем закон распределения случайной величины ( – M)²

(– M)2
Р

Теперь можно рассчитать величину D :

D =    +    +    = 

Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде:

D =  (9.6.4)

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

D = 

= 

= M² – M² (9.6.5)

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что M = р. Легко видеть, что M² = р. Таким образом, получается, что D = р – р² = pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Свойства дисперсии:

1. Если с – число, то D( + с) = D()

2. Если k – число, то D(k) = k² D.

Доказательство:

D(k) = M(k – M(k))² = M(k – k M)² = M(k² ( – M)²) = k²M( – M)² =

= k² D

3. Для попарно независимых случайных величин ₁, ₂,, _n справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин _i с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину . Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место равенство:  =  . Отсюда следует, что математическое ожидание бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р).

Если случайные величины _i и _j зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в последующих лекциях.

Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.

Пусть  и  – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

	0	1			1	2
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,3

Показать, что D( + ) = D + D.

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.