2.Вагові системи

В даному розділі ми опишемо один дуже важливий спеціальний тип систем голосування. Припустімо, що кожному елементові , множини поставлено у відповідність дійсне число ( вага елемента ) а також вибране дійсне число q (квота). Означмо систему голосування S на множині умовою: підмножина є виграшною коаліцією в S , якщо і тільки якщо

Така система голосування S називається ваговою системою голосування .

На прикладі Ради Безпеки ООН покажемо, що система голосування яка, на перший погляд , не є ваговою, насправді може бути також описана і як вагова система голосування.

Ось метод знаходження набору ваги і квоти q, які покажуть що Рада Безпеки ООН є ваговою системою голосування. Оскільки всі непостійні члени мають чітко такий же вплив, ми почнемо шляхом присвоєння їм всім однакової ваги, і ми приймемо цю вагу рівною 1. П'ять постійних членів також мають однаковий вплив і тому ми будемо (тимчасово) призначати їм усім невідоме значення їхньої ваги. Які ж саме мають бути і q, щоб задовольняти наше припущення? Розглянемо коаліцію у складі всіх десяти непостійних членів разом з будь-якими чотирма постійними членами. Вона має вагу , і має бути програшною, так як в ній немає одного постійного члена, який має право вето. Таким чином . З іншого боку, п'ять постійних членів разом з будь-якими чотирма непостійними членами є виграшною коаліцією, отже . Поєднуючи ці дві нерівності разом, отримуємо: . Звідси випливає, що

Вище ми припустили, що вага для непостійних членів рівна 1, а тепер з’ясували, що вага для постійних членів рівна 7. З наших нерівностей

, припускаємо, що . Таким чином, ми, звичайно, легко знаходимо, що .

Тепер буде відносно легко показати, що ці значення ваги і квоти дійсно показують, що Рада Безпеки ООН є ваговою системою голосування. (Слід також зазначити, що для доведення того, що система вагова, достатньо вказати значення ваги і квот і показати, що вони "працюють". Не є необхідними вказувати,як ми їх знайшли ).

Припущення 2.1. Ради Безпеки ООН є ваговою системою.

Доведення. Призначимо вагу для кожного постійного члена і вагу для кожного непостійного члена. Нехай квота . Тепер ми повинні показати, що для кожної виграшної коаліції в Раді Безпеки ООН, вага її є не менше 39, і що кожна програшна коаліція має вагу не більше 38. Виграшна коаліція в Раді Безпеки ООН повинна містити всі п'ять постійних членів (загальна вага 35) і щонайменше чотири непостійних члени (додаткова вага 4). Отже, будь-яка виграшна коаліція рівна або вища квоти 39. Програшні коаліції, з іншого боку, не мають одного постійного члена, і, отже, мають вагу не більше:

,

або містить не більше трьох непостійних членів, і, отже, має вагу щонайбільше: .

Отже, будь-які програшні коаліції не дотягують до квоти 39 □

Твердження 2.2. Якщо у ваговій системі голосування всі ваги невід’ємні, то така система голосування є монотонною.

Доведення цього твердження очевидне.

Можна виділити просту властивість, необхідну для того, щоб додатково описати вагову систему голосування. Назвімо систему голосування стійкою до обмінів, якщо для кожних її виграшних коаліцій , і кожних \ , \ хоча б одна з множин

,

є виграшною коаліцією(іншими словами, після обміну елементами між виграшними коаліціями хоча б одна з них залишається виграшною).

Твердження 2.3. Кожна вагова система є стійкою до обмінів.

Доведення. Нехай , – виграшні коаліції вагової системи голосування і \ , \ . Для визначеності припустімо, що вага елемента не менша ніж вага елемента . Тоді очевидно, що множина

є виграшною коаліцією системи голосування □

Пізніше побачимо, що умова стійкості до обмінів є необхідною, але недостатньою для того, щоби система голосування була ваговою.