14.3.3. Нормальное распределение.

Определение 11. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины задается функцией плотности распределения вида: (функция Гаусса), где – математическое ожидание, а – СКО этой случайной величины.

Свойства функции Гаусса

1. Область определения. 2. Область значений.

3. Пределы на бесконечности.

4. Исследование на экстремумы . Симметричность графика.

5. Исследование на точки перегиба , .

6. Влияние параметров: а – сдвиг вдоль ОХ. - уменьшение – вытягивание и сужение, увеличение – уплощение.

Исследование плотности нормального распределения

1. .

Записать по определению, сделать замену переменной , . Выразить, разбить на 2 слагаемых. Выражение - интеграл Пуассона.

2. Дисперсия аналогично.

Замечание. Общее нормальное распределение. Нормированное нормальное распределение , . Переход осуществляется через замену . Плотность нормированного нормального распределения . Существуют таблицы.

3. Связь между интегральными функциями распределения нормированной и общей выражается формулой .

4. Вероятность попадания в интервал :

.

где – функция Лапласа, значения которой заданы в специальной таблице (см. спец. таблицы).

5. Медиана а (из симметричности, чётности).

6. .

Записать двойное неравенство, привести к виду свойства 4. Нечётность функции Лапласа.

Замечание. Если две случайные величины распределены нормально и , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу больше у той величины, которая имеет меньшее значение (её рассеяние от математического ожидания меньше).

7. Правило трёх сигм. Положить . При вероятность равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное СКО мала. Т.е. это маловероятное событие. Тогда если НСВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного СКО.

На практике правило трёх сигм применяют для выдвижения гипотезы о нормальности некоторого распределения вероятностей.

14.4. Другие числовые характеристики

Определение 12. Начальным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины : .

Замечание 1. Для непрерывной случайной величины , при условии, что интеграл сходится абсолютно.

Замечание 2. В частности, , .

Определение 13. Центральным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины : .

Замечание. Для непрерывной случайной величины , при условии, что интеграл сходится абсолютно.

Определение 14. Абсолютным центральным моментом порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины : .

Замечание. Всякое распределение вероятностей называют теоретическим распределением. При изучении различных теоретических распределений, отличных от нормального, возникает необходимость оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики: асимметрию и эксцесс.

Определение 15. Распределение называется симметричным, если график его плотности вероятности симметричен относительно прямой .

Замечание. Равномерное и нормальное распределение симметричны.

Лемма. Для симметричного распределения каждый центральный момент нечётного порядка равен нулю.

Замечание. Для несимметричных распределений центральные моменты нечётных порядков, кроме первого, отличны от нуля. Следовательно, они могут служить характеристиками несимметричности распределения.

Определение 15. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения: .

Замечание. Для нормального распределения . , если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от прямой , , если слева. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды плотности распределения: если длинная часть кривой расположена правее моды, то , если слева – .

Замечание. Для оценки «крутизны» (большего или меньшего подъёма кривой теоретического распределения по сравнению с нормальным) пользуются эксцессом.

Определение 16. Эксцессом теоретического распределения называется величина .

Замечание. Для нормального распределения , следовательно, . Если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если , то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая; если , то кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределение имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.