§ 3. Понижение порядка дифференциального уравнения.
Бывают ситуации, когда имеется возможность понизить порядок дифференциального уравнения, т.е., например, удачной заменой переменной превратить уравнение второго или третьего порядка в дифференциальное уравнение первого порядка. Мы рассмотрим две возможности понизить порядок дифференциального уравнения .
Если в записи дифференциального уравнения отсутствует функция (а, возможно, и несколько первых её производных), т.е. уравнение имеет вид
,
то нужно сделать замену
.
В этом случае уравнение станет таким:
,
поэтому его порядок понизится на
единиц. Решив уравнение относительно
функции
,
нужно сделать обратную замену и найти
функцию
.
Не забудь, что в общем решении должно
быть ровно
произвольных постоянных!
Если в записи дифференциального уравнения отсутствует независимая переменная , т.е. уравнение, например, имеет вид
,
то надо функцию
считать независимой переменной, а
- искомой функцией. В этом случае в
исходное уравнение вместо
нужно подставить
.
В этом случае порядок дифференциального уравнения понизится на единицу.
Замечание.
Некоторые уравнения в своей записи не содержат ни , ни , т.е. допускают решение обоими способами. В этом случае предпочтительнее решать их первым способом, т.к. там вычисления получаются более простыми.
§ 4. Линейно независимые функции.
Две функции
и
называются линейно зависимыми,
если
,
что
.
В противном случае они называются линейно независимыми.
Критерий линейной зависимости.
и
линейно зависимы
,
где
.
Доказательство.
Если
и
линейно зависимы, то
,
поэтому
,
а, значит,
.
Если
,
то
,
отсюда
.
Согласно критерию постоянства функции
(глава II, § 11),
,
т.е.
,
ч.т.д.
§ 5. Линейные уравнения.
Уравнение вида
называется линейным неоднородным уравнением -го порядка. Если , то оно называется линейным однородным уравнением -го порядка.
Теорема 1.
Если
и
решения однородного уравнения
,
то
тоже является решением этого уравнения.
Доказательство.
Подставив функцию в уравнение, убедимся, что она обращает его в верное равенство:
.
Теорема 2.
Если функция
- решение однородного уравнения
,
то
тоже является решением этого уравнения.
Доказательство аналогично теореме 1.
Теорема 3.
Если
- решение однородного уравнения
,
а
решение неоднородного уравнения
,
то функция
является решением неоднородного
уравнения.
Доказательство.
Подставив функцию в уравнение , убедимся, что она обращает его в верное равенство:
.
§ 6. Решение линейных однородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами,
т.е.
уравнений вида
,
где
.
Для этого достаточно найти два линейно независимых решения и этого уравнения, и тогда ответ будет таким:
(см. теоремы 1 и 2 в § 5).
Решения уравнения будем искать в виде
.
Потребуем,
чтобы эта функция удовлетворяла уравнению
.
Для этого подставим
,
,
в уравнение:
,
.
Получившееся квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Теперь возможны три случая.
Корни действительны и различны:
.
В этом случае
и
- два линейно независимых решения. В
самом деле:
,
поэтому ответ:
.
Два одинаковых корня:
.
В этом случае
и
являются линейно независимыми решениями
уравнения
.
В самом деле, подставив функцию
в уравнение, можно убедиться, что она
является его решением:
,
.
.
Так как
- корень уравнения
,
вторая скобка равна нулю. Первая скобка
равна нулю, т.к., по теореме Виета,
.
Итак,
- ещё одно решение уравнения
.
Нетрудно убедиться, что
и
- линейно независимые функции:
.
Таким образом, ответ:
.
Корни комплексные:
.
В этом случае
и
являются линейно независимыми решениями
уравнения
.
Докажем это.
Так как
является корнем характеристического
уравнения,
,
отсюда система
Подставим в уравнение и покажем, что оно обращается в тождество. Сначала, правда, придётся найти первые две производные:
,
,
.
Множитель
,
общий для всех трёх слагаемых, мы для
краткости писáть не будем:
.
Согласно системе, это выражение равно нулю, ч.т.д.
Аналогично можно показать, что функция также является решением уравнения . То, что эти два решения являются линейно независимыми, проверь самостоятельно.
Итак, если корни комплексные, то решение дифференциального уравнения имеет вид:
.